Які дзеліцца напалову – трыкутнікі і квадраты

Да нас прыйшоў новы год, 2019. Гэта не простая лічба. Сума лічбаў 2 + 0 + 1 + 9 = 12, значыць, колькасць дзеліцца на 3. Простага ліку давядзецца чакаць доўга, да 2027 года. Усё ж вельмі нямногія чытачы гэтага эпізоду дажывуць да дваццаць другое стагоддзе. Але яны, безумоўна, такія ў гэтым свеце, асабліва прадстаўніцы прыгожага полу. Я раўную? Не зусім... Але я павінен пісаць пра матэматыку. У апошні час я ўсё больш і больш пішу аб пачатковай адукацыі.

Ці можна падзяліць круг на дзве роўныя паловы? Вызначана. Як называюцца часткі, якія вы атрымаеце? Так, паўкола. Пры падзеле круга адной лініяй (адным разрэзам) ці трэба праводзіць лінію праз цэнтр круга? так. А можа, і не трэба? Памятайце, што гэта адзін разрэз, адна прамая лінія.

Вы перакананыя, што кожны прамая лінія, якая праходзіць праз цэнтр круга, дзеліць іх на роўныя часткі? Вы перакананы, што для таго, каб падзяліць круг на роўныя часткі адной прамой, трэба правесці яе праз цэнтр?

Абгрунтуйце сваю веру. І што значыць "апраўдаць"? Матэматычны доказ адрозніваецца ад "доказу" ў юрыдычным сэнсе. Адвакат павінен пераканаць суддзю і такім чынам прымусіць Вярхоўны суд прызнаць, што кліент невінаваты. Для мяне заўсёды было непрымальна: наколькі лёс падсуднага залежыць ад красамоўства «папугая» (так мы крыху грэбліва характарызуем адваката).

Для матэматыка адной веры недастаткова. Доказ павінен быць фармальным, а тэза павінна быць апошняй формулай у лагічнай паслядоўнасці ад здагадкі. Гэта даволі складаная канцэпцыя, якую практычна немагчыма рэалізаваць у паўсядзённым жыцці.

Магчыма, так яно і лепшае: іскі і прысуды, заснаваныя на «матэматычнай логіцы», былі б проста… бяздушнымі. Судзячы па ўсім, гэта адбываецца ўсё гушчару і гушчару. Але я проста хачу, каб кс.

Нават фармальны доказ простых рэчаў можа выклікаць цяжкасці. Як даказаць абодва гэтыя перакананні аб дзяленні круга? Чым прасцей спачатку тое кожная прамая, якая праходзіць праз цэнтр, дзеліць акружнасць на дзве роўныя часткі.

Можна сказаць так: давайце павернем фігуру на мал.1 на 180 градусаў. Затым зялёнае поле стане сінім, а сіняе поле стане зялёным. Значыць, яны павінны мець роўныя квадраты. Калі правесці лінію не праз цэнтр, то адно з палёў будзе відавочна менш.

Трохвугольнікі і квадраты

Такім чынам, давайце працягнем квадрат. Ці ёсць у нас тое ж самае, што:

1. кожная прамая, якая праходзіць праз цэнтр квадрата, дзеліць яго на дзве роўныя часткі?
2. Калі прамая лінія дзеліць квадрат на дзве роўныя часткі, то ці павінна яна праходзіць праз цэнтр квадрата?

Ці перакананыя мы ў гэтым? Сітуацыя іншая, чым для кола (2-7).

пойдзем роўнабаковага трыкутніка. Як вы разразаеце яго напалову? Лёгка - проста абрэжце вяршыню і перпендыкулярна падставе (8).

Нагадваю, што падставай трыкутніка можа быць любая яго бок, нават нахільная. Разрэз праходзіць праз цэнтр трыкутніка. Ці ўсякая прамая, якая праходзіць праз цэнтр трыкутніка, дзеліць яго напалову?

Не! Глядзіце мал. 9. Кожны з каляровых трыкутнікаў мае аднолькавую плошчу (чаму?), так што вяршыня вялікага трыкутніка мае чатыры, а ніжняя - пяць. Суадносіны палёў не 1:1, а 4:5.

Што, калі мы падзелім базу, скажам, на чатыры часткі і мы падзелім роўнабаковага трыкутніка разрэз праз цэнтр і праз кропку ў чвэрці падставы? Чытач, ці бачыце вы, што на рысунку 10 плошча «бірузовага» трохвугольніка складае 9/20 плошчы ўсяго трохвугольніка? Ты не бачыш? Вельмі шкада, я пакіну вам гэта як задачу для вырашэння.

Першае пытанне – растлумачце, як гэта: дзялю падставу на чатыры роўныя часткі, праводжу прамую праз кропку дзялення і цэнтр трыкутніка, а на процілеглым баку атрымліваю дзіўнае дзяленне, у суадносінах 2:3? Чаму? Вы можаце разлічыць гэта?

А можа, ты, Чытач, сёлета выпускнік сярэдняй школы? Калі так, то вызначыце, пры якім становішчы радкоў стаўленне палёў мінімальна? Вы не ведаеце? Я не кажу, што вы павінны выправіць гэта прама зараз. Я даю вам дзве гадзіны.

Калі вы не вырашыце яе, тады… ну, у любым выпадку, удачы вам на выпускных іспытах у старэйшай школе. Я вярнуся да гэтай тэмы.

Прачніся незалежнасць

- Ты ўмееш дзівіцца? Гэта назва кнігі, апублікаванай даўным-даўно часопісам Delta, матэматычным, фізіка-астранамічным штомесячнікам. Зірніце на мір вакол вас. Ды што тамака рэкі з пяшчаным дном (бо вада павінна адразу ўвабрацца!).

Чаму аблокі плывуць па паветры? Чаму самалёт ляціць? (павінна адразу ўпасці). Чаму ў гарах на вяршынях часам цяплей, чым у далінах? Чаму ў паўднёвым паўшар'і сонца апоўдні знаходзіцца на поўначы? Чаму сума квадратаў гіпатэнузы роўна квадрату гіпатэнузы? Чаму цела як бы губляе ў вазе пры апусканні ў ваду, паколькі ваду яно выцясняе?

Пытанні, пытанні, пытанні. Не ўсе з іх адразу дастасавальныя да паўсядзённага жыцця, але рана ці позна будуць. Ці ўсведамляеце вы важнасць апошняга пытання (аб вадзе, выцесненай пагружаным целам)? Усвядоміўшы гэта, пажылы джэнтльмен бегаў голым па горадзе і крычаў: "Эўрыка, я знайшоў!" Ён не толькі адкрыў фізічны закон, але і даказаў, што ювелір цара Херона быў фальшываманетчыкам!!! Падрабязнасці глядзіце ў глыбінях інтэрнета.

Цяпер давайце паглядзім на іншыя фігуры.

шасцікутнік (11-14). Ці ўсякая прамая, якая праходзіць праз яго цэнтр, дзеліць яго напалову? Ці павінна лінія, якая дзеліць шасцікутнік напалову, праходзіць праз яго цэнтр?

Што пра пяцікутнік (15, 16)? Васьмікутнік (17)? І для эліпсы (18)?

Адзін з недахопаў школьнай навукі складаецца ў тым, што мы выкладаем "па-дзявятнаццатаму стагоддзю" - мы даем вучням задачу і чакаем, што яны яе вырашаць. Што ў гэтым дрэннага? Нічога - акрамя таго, што праз некалькі гадоў нашаму вучню давядзецца не толькі рэагаваць на каманды, якія ён "атрымаў" ад кагосьці, але і бачыць праблемы, фармуляваць задачы, арыентавацца ў той галіне, куды яшчэ ніхто не дайшоў.

Мне столькі гадоў, што я мару аб такой стабільнасці: "Вучыся, Джон, рабі абутак, і будзеш працаваць шаўцом ўсё астатняе жыццё". Выхаванне як пераход у вышэйшую касту. Працэнты на ўсё астатняе жыццё.

Але я настолькі «сучасны», што ведаю, што мушу рыхтаваць сваіх вучняў да прафесій, якіх… пакуль няма. Лепшае, што я магу і магу зрабіць, гэта паказаць студэнтам: ВЫ ЗМЯНІЦЕ СЯБЕ? Нават на ўзроўні пачатковай матэматыкі.

Глядзі таксама: