Каранавірус і матэматычнае адукацыю – Часткова заказаныя калекцыі

Вірус, які ўразіў нас, спрыяе хуткай рэформе адукацыі. асабліва на вышэйшых ступенях адукацыі. На гэтую тэму можна напісаць даўжэйшае складанне, напэўна будзе струмень доктарскіх дысертацый па методыцы дыстанцыйнага навучання. З пэўнага пункту гледжання, гэта вяртанне да вытокаў і да забытых звычак саманавучання. Так было, напрыклад, у Крамянецкай сярэдняй школе (у Крамянеце, цяпер ва Украіне, якая існавала ў 1805-31 гг., гібела да 1914 г. і перажывала свой росквіт у 1922-1939 гг.). Студэнты вучыліся там самастойна – толькі пасля таго, як яны навучыліся, уваходзілі выкладчыкі з выпраўленнямі, канчатковымі тлумачэннямі, дапамогай у цяжкіх месцах і т.п. д. Калі я стаў студэнтам, яшчэ казалі, што веды мы павінны набываць самі, што заняткі ва ўніверсітэт толькі замовіць і накіраваць. Але тады гэта была толькі тэорыя…

Увесну 2020 гады не я адзін выявіў, што ўрокі (у тым ліку лекцыі, практыкаванні і т. д.) можна вельмі эфектыўна праводзіць выдалена (Google Meet, Microsoft Teams і т. д.), коштам вялікай працы на частку настаўніка і проста жаданне "атрымаць адукацыю" з другога боку; але і з некаторым камфортам: я сяджу ў сябе дома, у сваім крэсле, а на традыцыйных лекцыях студэнты таксама часта займаліся нечым іншым. Эфект ад такога навучання можа быць нават лепш, чым пры традыцыйнай, якая ўзыходзіць да сярэднявечча, класна-ўрочнай сістэме. Што ад яго застанецца, калі вірус адправіцца "да д'ябла"? Я думаю… даволі многа. Але мы ўбачым.

Сёння я раскажу пра часткова замоўленыя наборы. Гэта проста. Паколькі бінарнае стаўленне ў непустым мностве X называецца стаўленнем частковага парадку, калі існуе

(Тадэвуш Катарбінскі, 1886-1981, філосаф,

прэзідэнт Польскай акадэміі навук у 1957–1962 гг.).

Рэфлексіўны, г. зн. для кожнага ∈ ёсць “,
Мінак, г.зн. калі ", і", то ",
Паўасіметрычны, г.зн. («∧«)→ знак роўна

Радок - гэта мноства са наступным уласцівасцю: для любых двух элементаў гэта мноства альбо «або y». Антыланцуг - гэта…

Стоп, стоп! Ці можна нешта з гэтага зразумець? Канечне, гэта з'яўляецца. Але ці зразумеў ужо хто-небудзь з Чытачоў (не дасведчаных іншага) што тут?

Не думаю! І гэта канон выкладання матэматыкі. Таксама ў школе. Спачатку прыстойнае, строгае азначэнне, а потым, тыя, хто не заснуў ад нуды, абавязкова што-небудзь зразумеюць. Гэты метад быў навязаны "вялікімі" настаўнікамі матэматыкі. Ён павінен быць акуратным і строгім. Гэта праўда, што так і мусіць быць у канцы. Матэматыка павінна быць дакладнай навукай (глядзіце таксама: ).

Павінен прызнацца, што ва ўніверсітэце, дзе я працую пасля выхаду на пенсію з Варшаўскага ўніверсітэта, я таксама выкладаў так шмат гадоў. Толькі ў ёй было праславутае вядро з халоднай вадой (няхай так і застанецца: патрэба была вядро!). Нечакана высокая абстракцыя стала лёгкай і прыемнай. Устанавіць увагу: лёгка не значыць лёгка. Лёгкаму баксёру таксама даводзіцца нялёгка.

Я ўсміхнуся сваім успамінам. Асновам матэматыкі мяне навучаў тагачасны дэкан факультэта, першакласны матэматык, які толькі што прыехаў з доўгага знаходжання ў ЗША, што ў той час было чымсьці экстраардынарным само па сабе. Я думаю, што яна была крыху снабісткай, калі крыху забылася на польскую мову. Яна марнатравіла старымі польскімі «што», «таму», «азалія» і прыдумала гэты тэрмін: «напаўасіметрычныя адносіны». Мне падабаецца яго выкарыстоўваць, ён сапраўды дакладны. Мне падабацца. Але я не патрабую гэтага ад студэнтаў. Гэта звычайна называюць "нізкай антысіметрыяй". Дзесятка прыгожых.

Даўным-даўно, таму што ў сямідзесятых гадах (мінуўшчыны стагоддзі) была праведзена вялікая, радасная рэформа выкладання матэматыкі. Гэта супала з пачаткам кароткага перыяду кіравання Эдуарда Герэка - пэўнага адкрыцця нашай краіны свету. «Дзецям можна вучыць і вышэйшую матэматыку», - усклікалі Вялікія Настаўнікі. Для дзяцей быў складзены канспект універсітэцкай лекцыі "Асновы матэматыкі". Гэта была тэндэнцыя ня толькі ў Польшчы, але і ва ўсёй Еўропе. Вырашыць ураўненне было недастаткова, трэба было растлумачыць кожную дэталь. Каб не быць галаслоўным - кожны з Чытачоў можа вырашыць сістэму раўнанняў:

але студэнты павінны былі абгрунтоўваць кожны крок, спасылацца на адпаведныя выказванні і г. д. Гэта было класічнае перавышэнне формы над зместам. Мне зараз лёгка крытыкаваць. Я таксама некалі быў прыхільнікам такога падыходу. Гэта займальна… для маладых людзей, захопленых матэматыкай. Гэта, вядома, было (і, дзеля ўвагі, я).

Але хопіць лірычнага адступлення, давайце да справы: лекцыя, якая "тэарэтычна" прызначалася для другакурснікаў палітэхнікума і была б сухой, як какосавая стружка, калі б не яна. я крыху перабольшваю…

Добрай раніцы табе. Сённяшняя тэма - частковая ачыстка. Не, гэта не намёк на нядбайную ўборку. Лепшым параўнаннем было б разгледзець, што лепш: таматавы суп ці торт з крэмам. Адказ зразумелы: гледзячы ад чаго. На дэсерт - печыва, а на пажыўную страву: суп.

У матэматыцы мы маем справу з лікамі. Яны ўпарадкаваны: яны большыя і меншыя, але з двух розных лікаў адно заўсёды меншае, а значыць, другое большае. Яны размешчаны па парадку, як літары ў алфавіце. У часопісе заняткаў парадак можа быць такім: Адамчык, Багінская, Хойніцкі, Дзяркоўскі, Эльгет, Філіпаў, Гжэчнік, Халніцкі (яны сябры і аднакласнікі з майго класа!). У нас таксама няма сумневаў, што Матусяк «Матушалянскі» Матушэўскі «Мацісь. Сімвал "двайнога няроўнасці" мае значэнне "папярэднічае".

У маім турыстычным клубе мы імкнемся складаць спісы ў алфавітным парадку, але па імені, напрыклад, Аліна Вроньска «Варвара Качароўска», Цэзар Баўшыц і г. д. У афіцыйных справаздачах парадак быў бы зваротным. Матэматыкі называюць алфавітны парадак лексікаграфічным (лексікон больш-менш падобны да слоўніка). З іншага боку, такі парадак, пры якім у імені, які складаецца з дзвюх частак (Міхал Шурэк, Аліна Вроньска, Станіслаў Смажынскі) мы спачатку глядзім на другую частку, з'яўляецца для матэматыкаў антылексікаграфічным парадкам. Доўгія назвы, але вельмі просты змест.

1. Лінейны парадак: станцыі і прыпынкі на шляху чыгункі Хабаўка - Закапанэ ад Падгале, пабудаваныя ў 1899 г. (расшыфроўку скарачэнняў пакідаю чытачу).

Усе такія замовы завуцца лінейнымі замовамі. Заказваем па чарзе: першае, другое, трэцяе. Усё ў парадку, ад першага пункта да апошняга. Гэта не заўсёды мае сэнс. Бо мы расстаўляем кнігі ў бібліятэцы не так, а па секцыях. Толькі ўсярэдзіне аддзела размяшчаем лінейна (звычайна па алфавіце).

2. Лінейны парадак: пры запуску рухавіка аўтамабіля выконваем дзеянні ва ўзгодненым парадку.

З буйнейшымі праектамі, асабліва ў каманднай працы, у нас больш няма лінейнага парадку. Давайце паглядзім на рыс. 3. Мы хочам пабудаваць невялікі гатэль. У нас ужо ёсць грошы (вочка 0). Афармляем дазвольную дакументацыю, збіраем матэрыялы, пачынаем будаўніцтва, а заадно праводзім рэкламную кампанію, шукаем супрацоўнікаў і гэтак далей і да таго падобнае. Калі мы дасягнем "10", першыя госці могуць засяліцца (прыклад з апавяданняў г-на Дамброўскага і іх маленькага гатэля ў прыгарадзе Кракава). У нас ёсць нелінейны парадак - Некаторыя рэчы могуць адбывацца паралельна.

У эканоміцы вы даведаецеся аб канцэпцыі крытычнага шляху. Гэта набор дзеянняў, якія павінны выконвацца паслядоўна (і гэта называецца ланцужком у матэматыцы, падрабязней пра гэта крыху пазней), і якія займаюць больш за ўсё часу. Скарачэнне часу будаўніцтва - гэта рэарганізацыя крытычнага шляху. Але пра гэта на іншых лекцыях (нагадаю, што чытаю "ўніверсітэцкую лекцыю"). Мы робім упор на матэматыку.

Дыяграмы, падобныя на малюнак 3, называюцца дыяграмамі Хасэ (Гельмут Хасэ, нямецкі матэматык, 1898–1979). Кожнае складанае намаганне павінна быць спланавана такім чынам. Мы бачым паслядоўнасці дзеянняў: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Матэматыкі называюць іх струнамі. Уся задума складаецца з чатырох ланцужкоў. Наадварот, групы актыўнасці 1-2-3-4, 5-6-7 і 8-9 уяўляюць сабой антыланцугі. Вось як яны называюцца. Справа ў тым, што ў канкрэтнай групе ніводнае з дзеянняў не залежыць ад папярэдняга.

4. Гэта таксама дыяграма Хасэ.

пойдзем малюнак 4. Што імпазантна? Але гэта можа быць схема мэтро ў якім-небудзь горадзе! Падземныя чыгункі заўсёды згрупаваны ў лініі - яны не пераходзяць з адной у іншую. Радкі - гэта асобныя радкі. У горадзе мал. 4 ёсць печ лінія (памятаеце, што печ пішацца «boldem» - па-польску называецца паўтоўстым).

На гэтай дыяграме (мал. 4) ёсць кароткая жоўтая АБФ, шасцістанцыйнай АЦФКПС, зялёная АДГЛ, сіняя ДГМРТ і самая доўгая чырвоная. Матэматык скажа: на гэтай дыяграме Хасэ ёсць печ ланцугі. Гэта на чырвонай лініі сем станцыя: АЭЙНРУЎ. А антыланцугі? Ёсць яны сем. Чытач ужо заўважыў, што я двойчы падкрэсьліў слова сем.

Прадчуванне гэта такі набор станцый, што ні з адной з іх немагчыма дабрацца да іншай без перасадкі. Калі мы крыху «разбярэмся», то ўбачым наступныя антыланцугі: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Калі ласка, праверце, напрыклад, з любой са станцый BCLTV немагчыма праехаць на іншую BCTLV без перасадкі, дакладней: без неабходнасці вяртання на станцыю, паказаную ніжэй. Колькі існуе антыланцугоў? Сем. Якога памеру самы вялікі з іх? выпякаць (зноў жа паўтлустым шрыфтам).

Вы можаце сабе ўявіць, студэнты, што супадзенне гэтых лікаў не выпадкова. Гэта. Гэта было выяўлена і даказана (г.зн. заўсёды так) у 1950 годзе Робертам Палмерам Дылвартам (1914–1993, амерыканскі матэматык). Колькасць радкоў, неабходных для пакрыцця ўсяго мноства, роўна памеру найбольшай антыланцуга, і наадварот: колькасць антыланцугоў роўна даўжыні самай доўгай антыланцуга. Гэта заўсёды мае месца ў часткова спарадкаваным наборы, г.зн. такім, які можна візуалізаваць. дыяграма Хасега. Гэта не зусім строгае і правільнае азначэнне. Гэта тое, што матэматыкі называюць "працоўным вызначэннем". Гэта некалькі адрозніваецца ад "працоўнага вызначэння". Гэта падказка аб тым, як разумець часткова спарадкаваныя мноства. Гэта важная частка любога навучаньня: паглядзіце, як гэта працуе.

Ангельская абрэвіятура is — гэта слова прыгожа гучыць у славянскіх мовах, крыху падобна на чартапалох. Звярніце ўвагу, што чартапалох таксама галінасты.

Вельмі прыгожа, але каму гэта патрэбна? Вам, дарагія студэнты, ён патрэбен для здачы іспыту і, напэўна, гэта дастаткова важкі чыннік для яго вывучэння. Я слухаю, якія пытанні? Я слухаю, спадар з-пад акна. О, пытанне ў тым, ці будзе гэта калі-небудзь карысна Госпаду ў вашым жыцці? Можа і не, але для кагосьці разумнейшыя за вас дакладна… Можа для аналізу крытычнага шляху ў складаным эканамічным праекце?

Я пішу гэты тэкст у сярэдзіне чэрвеня, у Варшаўскім універсітэце ідуць выбары рэктара. Я прачытаў некалькі каментароў ад карыстальнікаў Інтэрнету. Дзіўна шмат нянавісці (ці "нянавісці") да "адукаваных людзей". Нехта наўпрост напісаў, што людзі з універсітэцкай адукацыяй ведаюць менш, чым з універсітэцкай адукацыяй. Я, канешне, не буду ўступаць у дыскусію. Мне проста сумна, што вяртаецца ўстоянае ў Польскай Народнай Рэспубліцы меркаванне, што ўсё можна зрабіць малатком і зубілам. Я вяртаюся да матэматыкі.

Тэарэма Дылварта мае некалькі цікавых ужыванняў. Адна з іх вядома як тэарэма аб шлюбе (англ.рыс. 6).

Ёсць група жанчын (хутчэй за дзяўчат) і трохі вялікая група мужчын. Кожная дзяўчына думае прыкладна так: "Я магла б выйсці за гэтага, за іншага, але ніколі ў жыцці за трэцяга". І гэтак далей, у кожнага свае перавагі. Малюем схему, ведучы да кожнага з іх стралу ад таго хлопца, якога ён не абвяргае як кандыдата на алтар. Пытанне: ці могуць пары быць падабраны так, каб кожная знайшла мужа, якога яна прымае?

Тэарэма Філіпа Хола, кажа, што гэта можна зрабіць – пры выкананні пэўных умоў, якія я тут абмяркоўваць не буду (тады на наступнай лекцыі, студэнты, калі ласка). Звярніце ўвагу, аднак, што мужчынскае задавальненне тут увогуле не згадваецца. Як вядома, менавіта жанчыны выбіраюць нас, а не наадварот, як нам здаецца (нагадаю, што я аўтар, а не аўтар).

Крыху сур'ёзнай матэматыкі. Як тэарэма Хола вынікае з Дылварта? Гэта проста. Паглядзім яшчэ раз на малюнак 6. Ланцужкі там вельмі кароткія: яны маюць даўжыню 2 (якія бягуць у напрамку). Набор чалавечкаў - антыланцуг (менавіта таму, што стрэлкі толькі насустрач). Такім чынам, вы можаце пакрыць цэлую калекцыю такой колькасцю антыланцугоў, колькі ёсць мужчын. Такім чынам, у кожнай жанчыны будзе страла. А гэта значыць, што яна можа падацца хлопцам, якога яна прымае!!!

Пачакайце, хто-небудзь спытае, і ўсё? Гэта ўсё дадатак? Гармоны як-небудзь ужывуцца і навошта матэматыка? Па-першае, гэта не ўсё дадатак, а толькі адно з вялікай серыі. Давайце паглядзім на адну з іх. Няхай (мал. 6) маюцца на ўвазе не прадстаўнікі лепшай падлогі, а даволі празаічныя пакупнікі, і - гэта маркі, напрыклад, аўтамабіляў, пральных машын, сродкаў для пахудання, прапановы турфірмаў і т. д. У кожнага пакупніка ёсць маркі, якія ён прымае і абвяргае. Ці можна нешта зрабіць, каб прадаць нешта ўсім і як? На гэтым не толькі жарты заканчваюцца, але і веды аўтара артыкула на гэтую тэму. Усё, што я ведаю, гэта тое, што аналіз заснаваны на даволі складанай матэматыцы.

Выкладанне матэматыкі ў школе - гэта навучанне алгарытмам. Гэта важная частка навучаньня. Але паціху мы рухаемся да навучання не столькі матэматыцы, колькі матэматычнаму метаду. Сённяшняя лекцыя была якраз пра гэта: мы гаворым пра абстрактныя разумовыя пабудовы, мы думаем пра паўсядзённае жыццё. Гаворка ідзе пра ланцугі і антыланцугі ў мноствах са зваротнымі, транзітыўнымі і іншымі адносінамі, якія мы выкарыстоўваем у мадэлях прадавец-пакупнік. Усе разлікі за нас зробіць камп'ютар. Ён пакуль не будзе ствараць матэматычныя мадэлі. Мы па-ранейшаму перамагаем сваім мысленнем. У любым выпадку, спадзяюся, як мага даўжэй!