Новая матэматыка машын? Элегантныя ўзоры і бездапаможнасць
Па меркаванні некаторых экспертаў, машыны могуць вынаходзіць ці, калі жадаеце, адчыняць зусім новую матэматыку, якую мы, людзі, ніколі не бачылі і не прыдумалі б. Іншыя сцвярджаюць, што машыны нічога не вынаходзяць самі па сабе, яны могуць толькі па-іншаму ўяўляць вядомыя нам формулы, а з некаторымі матэматычнымі задачамі яны ўвогуле не спраўляюцца.
Нядаўна група навукоўцаў з Інстытута Тэхніён у Ізраілі і Google прадставіла аўтаматызаваная сістэма стварэння тэарэмякую яны назвалі машынай Рамануджана ў гонар матэматыка Шриниваси Рамануджанаякія распрацавалі тысячы наватарскіх формул у тэорыі лікаў практычна без фармальнай адукацыі. Сістэма, распрацаваная даследнікамі, ператварыла шэраг арыгінальных і важных формул ва ўніверсальныя канстанты, якія з'яўляюцца ў матэматыцы. Праца на гэтую тэму была апублікаваная ў часопісе Nature.
Адну з формул, выпрацаваных машынай, можна выкарыстоўваць для вылічэння значэння ўніверсальнай канстанты, званай Каталонскі нумар, больш эфектыўна, чым выкарыстанне раней вядомых формул, адкрытых чалавекам. Аднак навукоўцы сцвярджаюць, што машына Рамануджана ён не прызначаны для таго, каб адабраць матэматыку ў людзей, а хутчэй для таго, каб прапанаваць дапамогу матэматыкам. Аднак гэта не азначае, што іх сістэма пазбаўлена амбіцыйнасці. Як яны пішуць, Машына "спрабуе пераймаць матэматычнай інтуіцыі вялікіх матэматыкаў і даваць падказкі для далейшых матэматычных пошукаў".
Сістэма робіць здагадкі аб значэннях універсальных канстант (такіх як), запісаных у выглядзе элегантных формул, званых бесперапыннымі дробамі або бесперапыннымі дробамі (1). Так называецца спосаб выражэння сапраўднага ліку ў выглядзе дробу ў спецыяльнай форме або мяжа такіх дробаў. Бесперапынны дроб можа быць канчатковым або мець бясконца шмат прыватныхi/bi; фракцыя Аk/Bk атрыманае адкідваннем у бесперапынным дробе няпоўных дзеляў, пачынальна з (k + 1)-го, завецца k-м редуктам і можа быць вылічана па формулах:-1=1,А0=b0, У-1=0,У0=1, Аk=bkAда-1+akAда-2, Уk=bkBда-1+akBда-2; калі паслядоўнасць редуктов збягаецца да канчатковай мяжы, то бесперапынны дроб завецца збежным, у адваротным выпадку - разбежным; бесперапынны дроб называецца арыфметычным, каліi=1, с0 завершана, бi (i>0) - натуральны; бесперапынны арыфметычны дроб збягаецца; кожны сапраўдны лік пашыраецца да бесперапыннага арыфметычнага дробу, які канчатковы толькі для рацыянальных лікаў.
1. Прыклад запісу Пі ў выглядзе бесперапыннага дробу
Алгарытм машыны Рамануджана выбірае любыя ўніверсальныя канстанты для левай часткі і любыя бесперапынныя дробы для правай часткі, а затым вылічае кожную частку асобна з некаторай дакладнасцю. Калі абодва бакі здаюцца перакрываюцца, колькасці разлічваюцца з большай дакладнасцю, каб гарантаваць, што супадзенне не з'яўляецца супадзеннем ці недакладнасцю. Што немалаважна, ужо існуюць формулы, якія дазваляюць вылічыць значэнне ўніверсальных канстант, напрыклад, з любой дакладнасцю, таму адзінай перашкодай у праверцы адпаведнасці старонак з'яўляецца час вылічэнняў.
Перш чым укараняць падобныя алгарытмы, матэматыкам даводзілася выкарыстоўваць ужо існы. матэматычныя веды i тэарэмызрабіць такую здагадку. Дзякуючы аўтаматычным здагадкам, якія генерыруюцца алгарытмамі, матэматыкі могуць выкарыстоўваць іх для ўзнаўлення ўтоеных тэарэм або больш «элегантных» вынікаў.
Самым прыкметным адкрыццём даследчыкаў з'яўляецца не столькі новыя веды, колькі новае меркаванне дзіўнай важнасці. Гэта дазваляе разлік каталонскай пастаяннай, Універсальная канстанта, значэнне якой неабходна ў многіх матэматычных задачах. Выраз яго ў выглядзе бесперапыннай дробу ў нядаўна адкрытым здагадцы дазваляе выконваць самыя хуткія вылічэнні на сённяшні дзень, перамагаючы больш раннія формулы, якія патрабавалі больш часу для кампутарнай апрацоўкі. Гэта, здаецца, азначае новую кропку прагрэсу для кампутарных навук, у параўнанні з тым часам, калі кампутары ўпершыню абгулялі шахматыстаў.
З чым не можа справіцца ІІ
Алгарытмы машыны Як бачыце, з некаторымі рэчамі яны спраўляюцца інавацыйным і эфэктыўным спосабам. Сутыкнуўшыся з іншымі праблемамі, яны бездапаможныя. Група даследнікаў з Універсітэта Ватэрлоо ў Канадзе выявіла клас задач, выкарыстоўваючы машыннае навучанне. Адкрыццё звязана з парадоксам, апісаным у сярэдзіне мінулага стагоддзя аўстрыйскім матэматыкам Куртам Гёдэлем.
Матэматык Шай Бэн-Дэвід і яго каманда прадставілі мадэль машыннага навучання, званую максімальным прадказаннем (EMX), у публікацыі ў часопісе Nature. Здавалася б, простая задача аказалася невыканальнай для штучнага інтэлекту. Праблема, пастаўленая камандай Шай Бэн-Давід зводзіцца да прагназавання найболей выгоднай рэкламнай кампаніі, арыентаванай на найболей часта наведвальных сайт чытачоў. Колькасць магчымасцяў настолькі вялікая, што нейронавая сетка не ў стане знайсці функцыю, якая будзе правільна прадказваць паводзіны карыстальнікаў сайта, маючы ў сваім распараджэнні толькі невялікую выбарку даных.
Аказалася, што некаторыя праблемы, пастаўленыя нейронавымі сеткамі, эквівалентныя кантынуум-гіпотэзе, пастаўленай Георгам Кантарам. Нямецкі матэматык даказаў, што магутнасць мноства натуральных лікаў меншая за магутнасць мноства сапраўдных лікаў. Затым ён задаў пытанне, на якое не змог адказаць. У прыватнасці, ён задаваўся пытаннем, ці існуе бясконцае мноства, магутнасць якога меншая, чым магутнасць. набор сапраўдных лікаўале больш сілы набор натуральных лікаў.
Аўстрыйскі матэматык XNUMX стагоддзі. Курт Гёдэль даказаў, што гіпотэза кантынууму невырашальная ў бягучай матэматычнай сістэме. Цяпер высвятляецца, што з падобнай праблемай сутыкнуліся матэматыкі, якія праектуюць нейронавыя сеткі.
Так што, хоць і незаўважная для нас, як мы бачым, яна бездапаможная перад прынцыповымі абмежаваннямі. Навукоўцы задаюцца пытаннем, калі з праблемамі гэтага класа, такімі як бясконцыя мноствы, напрыклад.
