Чаму мы не дзелім на нуль?

Чытачы могуць здзівіцца, чаму я прысвячаю цэлы артыкул такому банальнаму пытанню? Прычына ў ашаламляльнай колькасці студэнтаў (!) нядбайна праводзяць аперацыю пад назвай. І не толькі студэнты. Часам лоўлю і настаўнікаў. Што здолеюць рабіць па матэматыцы вучні такіх настаўнікаў? Непасрэднай падставай для напісання гэтага тэксту паслужыла гутарка з настаўнікам, для якога дзяленне на нуль не ўяўляла праблемы…

З нулём, так, акрамя клопатаў наогул нічога, таму што нам не асоба трэба яго выкарыстоўваць у паўсядзённым жыцці. Мы не ходзім у краму за нуль яйкаў. "У пакоі адзін чалавек" гучыць неяк натуральна, а "нуль людзей" - штучна. Лінгвісты кажуць, што нуль знаходзіцца па-за моўнай сістэмай.

Мы можам абысціся без нуля і ў банкаўскіх рахунках: проста выкарыстоўваючы - як на тэрмометры - чырвоны і сіні для станоўчых і адмоўных значэнняў (звярніце ўвагу, што для тэмпературы натуральна выкарыстоўваць чырвоны колер для станоўчых лікаў, а для банкаўскіх рахункаў - наадварот, таму што дэбет павінен выклікаць папярэджанне, таму настойліва рэкамендуецца выкарыстоўваць чырвоны колер).

Улучыўшы нуль як натуральны лік, мы кранем праблемы дыферэнцыявання колькасныя лічэбнікі od хатняя гаспадарка. У межах 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

магутнасць ліку супадае з лікам месца, на якім яно стаіць. У адваротным выпадку ён ужо знаходзіцца ў паслядоўнасці 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….

Колькасць аднаэлементных набораў ідзе другім, колькасць набораў з двума элементамі ідзе трэцім і гэтак далей. Даводзіцца тлумачыць, чаму, напрыклад, мы не нумаруем месцы спартсменаў у спаборніцтвах на пустым месцы. Затым той, хто заняў першае месца, атрымліваў сярэбраны медаль (золата даставалася пераможцу, які заняў нулявое месца) і г. д. Некалькі падобная працэдура выкарыстоўвалася ў футболе — не ведаю, ці ведаюць Чытачы, што «першая ліга» азначае «наступная за лепшай». “, а нулявая ліга называецца стаць “вышэйшай лігай”.

Часам мы чуем аргумент, што трэба пачынаць з нуля, бо гэта зручна для айцішнікаў. Працягваючы гэтыя развагі, варта змяніць вызначэнне кіламетра – яно павінна быць 1024 м, таму што гэтая колькасць байтаў у кілабайце (спашлюся на вядомы кампутарнікам анекдот: “Чым адрозніваецца першакурснік ад студэнт інфарматыкі і студэнт пятага курса гэтага факультэта? што кілабайт гэта 1000 . - Што кіламетр гэта 1024 метра »)!

Іншы пункт гледжання, да якога ўжо варта ставіцца сур'ёзна, складаецца ў наступным: мы заўсёды вымяраем з нуля! Дастаткова паглядзець на любую шкалу на лінейцы, на бытавых вагах, хоць на гадзінніку. Паколькі мы вымяраем ад нуля, а падлік можна разумець як вымярэнне безпамернай адзінкай, то і лічыць трэба ад нуля.

Справа простая, але…

Пакінем агульныя развагі і вернемся да дзялення на нуль. Справа простая і была б простая, калі б не… ну і што? Давайце падумаем, паспрабуем. Колькі гэта можа быць - адзін падзяліць на нуль? Паглядзім: 1/0 = х. Памнажаем абедзве часткі на назоўнік левай часткі.

Атрымліваем 1=0. Нешта не так! Што здарылася? Ах, здагадка! Здагадка, што існуе прыватнае адзінкі і нуля, прыводзіць да супярэчнасці. І калі адно нельга падзяліць на нуль, то можна і іншы лік. Калі, Чытач, ты паціснеш плячыма і здзівішся, чаму аўтар (гэта значыць я) піша аб такіх банальнасцях, то… я вельмі рады!

Формулу 0/0 = 0 можна было б адстойваць на ўпартым, але яна супярэчыць правілу аб тым, што вынік дзялення ліку на самога сябе роўны адзінцы. Зусім, але зусім іншымі з'яўляюцца такія сімвалы, як 0/0, °/° і да іх падобныя ў матэматычным аналізе. Яны не азначаюць ніякага ліку, а з'яўляюцца сімвалічным абазначэннем прыватных паслядоўнасцяў пэўных тыпаў.

У кнізе па электратэхніцы я знайшоў цікавае параўнанне: дзяліць на нуль гэтак жа небяспечна, як электрычнасць высокай напругі. Гэта нармальна: закон Ома абвяшчае, што стаўленне напругі да супраціву роўна току: V = U / R. Калі б супраціў было роўна нулю, па правадніку працякаў бы ток тэарэтычна бясконцай сілы, спальваючы ўсе магчымыя правадыры.

Аднойчы я напісаў верш аб небяспецы дзялення на нуль - на кожны дзень тыдня. Памятаю, што самым драматычным днём быў чацвер, але шкада ўсю маю працу ў гэтай галіне.

Калі дзеліш нешта на нуль

Вельмі ранні панядзелак

Тыдзень, што толькі што адбылося

У вас ужо зусім няўдала.

Калі ў аўторак пасля абеду,

Вы ставіце нуль у назоўніку

Я скажу вам тады, вы памыляецеся

Дрэнны мой матэматык!

Калі праз нуль, праз перакручанасць,

Жадаеш падзяліць у сераду,

У цябе будзе шмат непрыемнасцяў

У цябе сена і вада ў галаве!

З намі быў нейкі Бартэк.

Ён быў не ў ладах з правіламі.

У чацвер ён дзеліцца на нуль.

Яго больш няма паміж намі!

Калі дзіўнае жаданне завалодае табой,

Дзяліць на нуль у пятніцу,

Скажу прама, сапраўды:

Дрэнны пачатак гэтых выходных.

Калі будзе нуль, недзе ў суботу

Дзельнік будзе тваім (не смелым)

Устаньце на калені пад царкоўнай агароджай.

Гэта ваша нядзельнае пакаянне.

Жадаеш нуль пад працяжнік,

Пастаў свята ў нядзелю,

Прынясіце мел, чорную дошку.

Пішыце: на нуль не дзеліцца!

Нуль асацыюецца з пустатой і нябытам. Сапраўды, ён прыйшоў у матэматыку як велічыня, якая пры даданні да любой не мяняе яе: х + 0 = х. Але зараз нуль з'яўляецца ў некалькіх іншых значэннях, у першую чаргу як пачатак шкалы. Калі за акном няма ні плюсавай тэмпературы, ні марозу, то… гэта нуль, што не значыць, што тэмпературы няма зусім. Помнік нулявога класа - гэта не той, які даўно знесены і яго проста няма. Наадварот - гэта нешта накшталт Вавеля, Эйфелевай вежы і Статуі Свабоды.

Што ж, важнасць за нуль у пазіцыйнай сістэме цяжка пераацаніць. Вы ведаеце, Чытач, колькі нулёў у Біла Гейтса на яго банкаўскім рахунку? Не ведаю, але я б хацеў палову. Мабыць, Напалеон Банапарт заўважыў, што людзі падобныя да нуляў: яны знаходзяць сэнс дзякуючы становішчу. У фільме Анджэя Вайды "З гадамі, з цягам дзён" гарачы мастак Ежы выбухае: "Філістар - гэта нуль, нігіл, нічога, нічога, нігіл, нуль". Але нуль можа быць добрым: "нулявое адхіленне ад нормы" азначае, што ўсё ідзе добра, і так трымаць!

Вернемся да матэматыкі. Нуль можна дадаваць, адымаць і памнажаць бяскарна. "Я набрала нуль кілаграмаў", – кажа Маня Ані. «І гэта цікава, таму што я схуднела на тую ж вагу», - адказвае Аня. Так што давай з'ямо шэсць нуль порцый марожанага шэсць разоў, гэта нам не пашкодзіць.

Мы не можам дзяліць на нуль, але мы можам дзяліць нуль. Талерку з нулявымі клёцкамі можна лёгка раздаць тым, хто чакае ежы. Колькі атрымае кожны?

Нуль не з'яўляецца станоўчым або адмоўным. Гэта і лік недадатныи неадмоўны. Ён задавальняе няроўнасцей x≥0 і x≤0. Супярэчнасць "нешта станоўчае" - гэта не "нешта адмоўнае", а "нешта адмоўнае або роўнае нулю". Матэматыкі, насуперак правілам мовы, заўсёды будуць казаць, што нешта "роўна нулю", а не "нулю". Каб апраўдаць гэтую практыку, мы маем: калі мы чытаем формулу x = 0 "x роўна нулю", то x = 1 мы чытаем "x роўна адзінцы", што можна было б праглынуць, але як наконт "x = 1534267"? Вы таксама не можаце прысвоіць лікавае значэнне знаку 0⁰ні ўзвесці нуль у адмоўную ступень. З іншага боку, можна рутаваць нуль па жаданні… і вынік заўсёды будзе нулявы, 

Экспанентная функцыя у = а^x, станоўчая падстава a, ніколі не становіцца роўным нулю. Адсюль вынікае, што нулявога лагарыфма не існуе. Сапраўды, лагарыфм а па падставе b ёсць паказчык ступені, у якую трэба ўзвесці падставу, каб атрымаць лагарыфм а. Пры а = 0 такога паказчыка няма, і нуль не можа быць падставай лагарыфма. Аднак нуль у «назоўніку» сімвала Ньютана – гэта нешта іншае. Мы мяркуем, што гэтыя дамовы не прыводзяць да супярэчнасці.

Ілжывыя доказы

Дзяленне на нуль - звычайная тэма для ілжывых доказаў, і гэта здараецца нават з дасведчанымі матэматыкамі. Дазвольце мне прывесці вам два мае любімыя прыклады. Першы - алгебраічны. Я "дакажу", што ўсе лікі роўныя. Выкажам здагадку, што ёсць два лікі, якія не роўныя. Значыць, адзін з іх большы за другі, няхай а > Ь. Выкажам здагадку, што з - іх рознасць

с = а - Ь. Такім чынам, мы маем а - Ь = с, адкуль а = Ь + с.

Памнажаем абедзве часткі апошняга на a – b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Перакладаю ак у левы бок, вядома памятаю пра змену знака:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Я выключаю агульныя фактары:

А(а-бы-у) = б(а-бы-у),

Я дзялюся, і ў мяне ёсць тое, што я хацеў:

а = б.

І насамрэч яшчэ больш дзіўным, таму што я меркаваў, што a > b, і я атрымаў, што a = b, Калі ў прыведзеным вышэй прыкладзе «падман» лёгка распазнаць, то ў геаметрычным доказе ніжэй гэта не так проста. Я дакажу, што… трапецыі не існуе. Фігуры, звычайна званай трапецыяй, не існуе.

Але выкажам здагадку спачатку, што ёсць такая рэч, як трапецыя (ABCD на малюнку ніжэй). Ён мае два паралельныя бакі («падставы»). Працягнем гэтыя падставы, як паказана на малюнку, так, каб атрымаўся паралелаграм. Яго дыяганалі дзеляць іншую дыяганаль трапецыі на адрэзкі, даўжыні якіх абазначаюцца x, y, z, як у малюнак 1. З падабенства адпаведных трыкутнікаў атрымліваем прапорцыі:

адкуль вызначаем:

Цяпер

адкуль вызначаем:

Аднімаем бакі роўнасці, адзначаныя зорачкамі:

 Укараціўшы абодва бакі на x − z, атрымаем – a/b = 1, значыць, a + b = 0. Але лікі a, b – гэта даўжыні асноў трапецыі. Калі іх сума роўна нулю, то і яны самі роўныя нулю. Гэта значыць, што фігура, падобная да трапецыі, існаваць не можа! А бо прастакутнікі, ромбы і квадраты - гэта таксама трапецыі, то, паважаны Чытач, і ромбаў, прастакутнікаў і квадратаў таксама не бывае…

Вось так

Дзяліцца інфармацыяй - гэта самае цікавае і складанае з чатырох асноўных дзеянняў. Тут мы ўпершыню сутыкаемся са з'явай, гэтак распаўсюджанай у дарослым узросце: "адгадай адказ, а потым правер, ці правільна ты адгадаў". Гэта вельмі дакладна выказаў Дэніэл К. Дэнет («Як рабіць памылкі?», у «Як гэта – навуковы даведнік па Сусвеце», CiS, Варшава, 1997):

Гэты метад «адгадвання» не перашкаджае нашаму сталаму жыццю — магчыма, таму, што мы вучымся яму рана і адгадваць не складае працы. Ідэалагічна тая ж з'ява адбываецца, напрыклад, у матэматычнай (поўнай) індукцыі. Там жа мы «адгадваем» формулу і потым правяраем, ці слушная наша здагадка. Студэнты заўсёды пытаюцца: “Адкуль нам было ведаць заканамернасць? Як яго можна вывесці?». Калі студэнты задаюць мне гэтае пытанне, я ператвараю іх пытанне жартам: "Я ведаю гэта, таму што я прафесіянал, таму што мне за гэта плацяць, каб я ведаў". Вучням у школе можна адказаць у тым жа стылі, толькі больш сур'ёзна.

практыкаванне. Улічыце, што мы пачынаем складанне і пісьмовае множанне з адзінкі найнізкага парадку, а дзяленне з адзінкі вышэйшага парадку.

Спалучэнне дзвюх ідэй

Выкладчыкі матэматыкі заўсёды паказвалі, што тое, што мы завем падзелам у дарослым узросце, уяўляе сабой звяз двух канцэптуальна розных ідэй: корпус i падзел.

Першы з іх (корпус) сустракаецца ў задачах, дзе архетыпам з'яўляюцца:

Падзяліць-падзяліць гэта такія задачы як:

? (мы захоўваем першапачатковы стыль гэтай задачы, узяты з даведніка Юліяна Згазалевіча, выдадзенага ў Кракаве ў 1892 г. – злоты – гэта рэйнскі злоты, валюта, якая мела хаджэнне ў Аўстра-Венгерскай імперыі да пачатку XNUMX стагоддзі).

Цяпер разгледзім дзве задачы з найстарэйшы падручнік матэматыкі на польскай мове, бацька Томаш Клос (1538 г.). Гэта дывізія ці купэ? Вырашыце яе так, як належыць школьнікам у XNUMX стагоддзі:

(Пераклад з польскай на польскую: У бочцы ёсць кварта і чатыры чыгуны. Гаршчок - чатыры кварты. Хтосьці купіў 20 бочак віна за 50 злотых для гандлю. Пошліна і падатак (акцыз?) Будзе складаць 8 злотых. Колькі прадаць кварту, каб зарабіць 8 злотых?)

Спорт, фізіка, кангруэнтнасць

Часам у спорце даводзіцца нешта дзяліць на нуль (каэфіцыент галоў). Ну, суддзі неяк з гэтым спраўляюцца. Аднак у абстрактнай алгебры яны стаяць на парадку дня. ненулявыя колькасціквадрат якога роўны нулю. Гэта нават можна растлумачыць проста.

Разгледзім функцыю F, якая ставіць у адпаведнасць кропку (y, 0) кропцы плоскасці (x, y). Што такое Ф², гэта значыць падвойнае выкананне F? Нулявая функцыя - кожная кропка мае малюнак (0,0).

Нарэшце, ненулявыя велічыні, квадрат якіх роўны 0, з'яўляюцца амаль хлебам надзённым для фізікаў, а лікі віду a + bε, дзе ε ≠ 0, але ε² = 0, матэматыкі называюць падвойныя нумары. Яны сустракаюцца ў матэматычным аналізе і ў дыферэнцыяльнай геаметрыі.

У рэшце рэшт, у арыфметыцы ёсць нешта, што хаця б у назве мае дзяленне на нуль. Гэта адбываецца ад конгруэнтных. Няхай Z абазначае мноства цэлых лікаў. Дзяленне мноства Z на p азначае, што мы прыраўноўваем кожны лік (цэлы лік) да некаторых іншых, а менавіта да такіх, на якія дзеліцца іх рознасць. Такім чынам, калі ў нас ёсць пяць тыпаў лікаў, якія адпавядаюць лікам 0, 1, 2, 3, 4 - магчымыя рэшткі пры дзяленні на 5. Формула запісваецца так:

мод, калі розніца кратная.

Пры = 2 у нас ёсць толькі два лікі: 0 і 1. Падзел цэлых лікаў на два такія класы раўнасільны дзяленню іх на цотныя і няцотныя. Заменім зараз. Розніца заўсёды дзеліцца на 1 (любы цэлы лік дзеліцца на 1). А можна ўзяць =0? Паспрабуем: калі розніца двух лікаў кратная нулю? Толькі калі гэтыя два лікі роўныя. Так што дзяліць набор цэлых лікаў на нуль мае сэнс, але гэта нецікава: нічога не адбываецца. Аднак трэба падкрэсліць, што гэта не дзяленне лікаў у вядомым з пачатковай школы сэнсе.

Такія дзеянні проста забаронены, як і доўгая і шырокая матэматыка.

Мал. 2. Ідэнтыфікацыя лікаў з дапамогай параўнання

(дрэва 5 і дрэва 2)