Падарожжа ў нерэальны свет матэматыкі

Я напісаў гэты артыкул у адно з асяроддзяў, пасля лекцыі і практыкі ў каледжы кампутарных навук. Я абараняюся ад крытыкі вучняў гэтай школы, іх ведаў, стаўлення да навукі і самае галоўнае: навыкаў навучання. Гэтаму... іх ніхто не вучыць.

Чаму я так абараняюся? Па простай прычыне - я ў такім узросце, калі, напэўна, навакольны свет яшчэ не зразуметы. Можа, я вучу іх запрагаць і распрагаць коней, а не вадзіць машыну? Можа, я вучу іх пісаць гусіным пяром? Хоць я і лепшай думкі пра чалавека, я лічу, што я “прытрымліваюся”, але…

Да нядаўняга часу ў сярэдняй школе гаварылі аб комплексных ліках. І менавіта ў гэтую сераду я прыйшоў дадому, звольніўся - амаль ніхто са студэнтаў яшчэ не даведаўся, што гэта такое і як карыстацца гэтымі лічбамі. Некаторыя глядзяць на ўсю матэматыку, як гусь на размаляваныя дзверы. Але таксама шчыра здзівіўся, калі мне расказалі, як навучыцца. Прасцей кажучы - кожную гадзіну лекцыі - гэта дзве гадзіны заняткаў дома: чытанне падручніка, першапачатковае навучанне рашэнню задач па зададзенай тэме і г.д. Падрыхтаваўшыся такім чынам, мы прыходзім на практыкаванні, дзе ўсё ўдасканальваем… Прыемна студэнты, відаць, думалі, што сядзець на лекцыі - часцей за ўсё гледзячы ў акно - ужо гарантуе ўваходжанне ведаў у галаву.

Спыняцца! Дастаткова гэтага. Апішу свой адказ на пытанне, якое я атрымаў падчас заняткаў са стыпендыятамі Нацыянальнага дзіцячага фонду - установы, якая падтрымлівае таленавітых дзяцей з усёй краіны. Пытанне (дакладней прапанова) было:

- Не маглі б вы расказаць нам што-небудзь пра нерэальныя лікі?

- Вядома, - адказаў я. 

Рэальнасць лікаў

"Сябар - гэта іншы я, сяброўства - гэта суадносіны лікаў 220 і 284", - казаў Піфагор. Справа тут у тым, што сума дзельнікаў ліку 220 роўна 284, а сума дзельнікаў ліку 284 роўна 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Заўважым дарэчы, што біблейскі Якаў падарыў Ісаву 220 авечак і бараноў у знак сяброўства (Быццё 32:14).

Яшчэ адно цікавае супадзенне паміж лікамі 220 і 284 заключаецца ў наступным: семнаццаць старэйшых простых лікаў - гэта 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , і 59.

Іх сума 2, а сума квадратаў 220.

Першы. Няма паняцця "сапраўдны лік". Гэта падобна на тое, як пасля прачытання артыкула аб сланах вы пытаецеся: "А зараз мы збіраемся папрасіць неслонов". Ёсць цэлыя і няцэлыя, рацыянальныя і ірацыянальныя, але нерэальных няма. Канкрэтна: лікі, якія не з'яўляюцца сапраўднымі, не называюцца несапраўднымі. У матэматыцы ёсць шмат тыпаў "лікаў", і яны адрозніваюцца адзін ад аднаго, як - возьмем заалагічнае параўнанне - слон і дажджавой чарвяк.

Па-другое, мы будзем выконваць аперацыі, якія, як вы, магчыма, ужо ведаеце, забаронены: выманне квадратных каранёў з адмоўных лікаў. Што ж, матэматыка пераадолее такія бар'еры. Хаця ці ёсць у гэтым сэнс? У матэматыцы, як і ў любой іншай навуцы: ці ўвойдзе тэорыя назаўжды ў сховішча ведаў, залежыць ад яе прымянення. Калі яно бескарыснае, то трапляе ў памыйніцу, то ў які-небудзь хлам гісторыі веды. Без лічбаў, аб якіх я кажу ў канцы гэтага артыкула, немагчыма развіваць матэматыку. Але давайце пачнем з некаторых дробязяў. Што такое рэальныя лікі, вы ведаеце. Яны запаўняюць лікавы радок шчыльна і без пропускаў. Вы таксама ведаеце, што такое натуральныя лікі: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – усе яны не змесціцца ў памяці нават самага вялікага. У іх таксама ёсць прыгожая назва: натуральныя. У іх так шмат цікавых уласцівасцей. Як вам гэта:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² 15 +² 42 +² 98 +² 123 +² 179 +² 206 +² 220 +² = 3² 11 +² 46 +² 92 +² 129 +² 175 +² 210 +² 218 +²

1³ 15 +³ 42 +³ 98 +³ 123 +³ 179 +³ 206 +³ 220 +³ = 3³ 11 +³ 46 +³ 92 +³ 129 +³ 175 +³ 210 +³ 218 +³

1⁴ 15 +⁴ 42 +⁴ 98 +⁴ 123 +⁴ 179 +⁴ 206 +⁴ 220 +⁴ = 3⁴ 11 +⁴ 46 +⁴ 92 +⁴ 129 +⁴ 175 +⁴ 210 +⁴ 218 +⁴

1⁵ 15 +⁵ 42 +⁵ 98 +⁵ 123 +⁵ 179 +⁵ 206 +⁵ 220 +⁵ = 3⁵ 11 +⁵ 46 +⁵ 92 +⁵ 129 +⁵ 175 +⁵ 210 +⁵ 218 +⁵

1⁶ 15 +⁶ 42 +⁶ 98 +³ 123 +⁶ 179 +⁶ 206 +⁶ 220 +⁶ = 3⁶ 11 +⁶ 46 +⁶ 92 +⁶ 129 +⁶ 175 +⁶ 210 +⁶ 218 +⁶

1⁷ 15 +⁷ 42 +⁷ 98 +³ 123 +⁷ 179 +⁷ 206 +⁷ 220 +⁷ = 3⁷ 11 +⁷ 46 +⁷ 92 +⁷ 129 +⁷ 175 +⁷ 210 +⁷ 218 +⁷

"Натуральна цікавіцца натуральнымі лікамі", - сказаў Карл Ліндэнхольм, а Леапольд Кронекер (1823-1891) выказаўся коратка: "Бог стварыў натуральныя лікі - усё астатняе - справа рук чалавека!" Дробі (званыя матэматыкамі рацыянальнымі лікамі) таксама валодаюць дзіўнымі ўласцівасцямі:

і ў роўнасці:

можна, пачынаючы з левага боку, пацерці плюсы і замяніць іх знакамі множання - і роўнасць застанецца дакладным:

І гэтак далей.

Як вядома, для дробаў a/b, дзе a і b — цэлыя лікі, а b ≠ 0, гавораць рацыянальны лік. Але толькі па-польску яны сябе так называюць. Кажуць на англійскай, французскай, нямецкай і рускай мовах. рацыянальны лік. На англійскай мове: рацыянальныя лікі. Ірацыянальныя лікі гэта ірацыянальна, ірацыянальна. Мы таксама гаворым па-польску пра ірацыянальныя тэорыі, ідэі і справы — гэта вар'яцтва, уяўнае, невытлумачальнае. Кажуць, што жанчыны баяцца мышэй - ці не праўда, наколькі гэта ірацыянальна?

У старажытнасці ў лікаў была душа. Кожны нешта азначаў, кожны нешта сімвалізаваў, кожны адлюстроўваў часцінку той гармоніі Сусвету, гэта значыць, па-грэцку, Космасу. Само слова "космас" азначае менавіта "парадак, парадак". Найбольш важнымі былі шэсць (дасканалы лік) і дзесяць, сума паслядоўных лікаў 1+2+3+4, складзеных з іншых лікаў, сімволіка якіх захавалася да нашых дзён. Так Піфагор вучыў, што лікі ёсць пачатак і крыніца ўсяго, і толькі адкрыццё ірацыянальныя лікі звярнуў піфагарэйскі рух у бок геаметрыі. Мы ведаем разважанне са школы, што

√2 - ірацыянальны лік

Выкажам здагадку, што ёсць: і што гэты дроб не можа быць скарочаны. У прыватнасці, і p, і q няцотныя. Узьвядзем у квадрат: 2q²=p². Лік p не можа быць няцотным, бо тады p² таксама было б, а ў левай частцы роўнасці стаіць кратнае 2. Значыць, p цотна, г. зн. p = 2r, значыць, p²= 4 гады². Скароцім раўнанне 2q²= 4 гады² на 2. Атрымліваем q²= 2 гады² і мы бачым, што q таксама павінна быць цотным, а мы выказалі здагадку, што гэта не так. Атрыманая супярэчнасць завяршае доказ - гэтую формулу часта можна сустрэць у кожнай матэматычнай кнізе. Гэты ўскосны доказ - упадабаны прыём сафістаў.

Гэта бязмернасць не магла быць зразуметая піфагарэйцамі. Усё павінна ўмець апісвацца лікамі, а дыяганаль квадрата, якую любы можа правесці палачкай па пяску, не мае, гэта значыць вымерна, даўжыні. «Наша вера была марнай», - як быццам кажуць піфагарэйцы. Як так? Гэта неяк… ірацыянальна. Саюз спрабаваў выратавацца сектанцкімі метадамі. Любы, хто асмеліцца раскрыць сваё існаванне ірацыянальныя лікі, павінен быў быць пакараны смерцю, і, відаць, першы прысуд прывёў у выкананне сам майстар.

Але "думка прайшла цэлай". Наступіў залаты век. Грэкі перамаглі персаў (Марафон 490, Плахэ 479). Умацавалася дэмакратыя, узніклі новыя цэнтры філасофскай думкі і новыя школы. Паслядоўнікі піфагарэйства ўсё яшчэ змагаліся з ірацыянальнымі лікамі. Некаторыя прапаведавалі: мы не разумеем гэтай таямніцы; мы можам толькі сузіраць гэта і захапляцца Uncharted. Апошнія былі больш прагматычныя і не паважалі Таямніцу. У той час з'явіліся дзве разумовыя канструкцыі, якія дазволілі зразумець ірацыянальныя лікі. Тое, што мы сёння дастаткова добра разумеем іх, належыць Еўдаксу (V стагоддзе да н. э.), і толькі ў канцы XIX стагоддзі нямецкі матэматык Рыхард Дэдэкінд даў тэорыі Евдокса належнае развіццё ў адпаведнасці з патрабаваннямі строгая матэматычная логіка.

Маса лічбаў або катаванні

Ці змаглі б вы жыць без лікаў? Калі б нават, якое гэта было б жыццё… Нам бы прыйшлося ісці ў краму, каб купіць абутак палачкай, якой мы папярэдне вымералі даўжыню ступні. "Хацелася б яблыкаў, ах, вось яно!" - Мы б паказвалі прадаўцоў на рынку. "Як далёка ад Модліна да Новы-Двур-Мазавецкага"? "Даволі блізка!".

Лічбы выкарыстоўваюцца для вымярэння. З іх дапамогай мы таксама выказваем многія іншыя паняцці. Напрыклад, маштаб карты паказвае, наколькі зменшылася плошча краіны. Шкала "два да аднаго", ці проста 2, выказвае той факт, што нешта было павялічана ўдвая. Скажам матэматычна: кожнай аднастайнасці адпавядае лік - яе маштаб.

заданне. Мы зрабілі ксераграфічную копію, павялічыўшы выяву ў некалькі разоў. Затым павялічаны фрагмент зноў павялічылі ў b разоў. Якая агульная шкала павелічэння? Адказ: a × b, памножаны на b. Гэтыя маштабы неабходна памножыць. Лік "мінус адзін", -1, адпавядае адной дакладнасці, якая цэнтраваная, гэта значыць павароту на 180 градусаў. А які лік адпавядае павароту на 90 градусаў? Няма такога нумара. Яно ёсць, яно ёсць… дакладней, хутка будзе. Вы гатовыя да маральных катаванняў? Набярыцеся смеласці і выміце квадратны корань з «мінус адзін». Я слухаю? Што ты не можаш? У рэшце рэшт, я сказаў табе быць адважным. Выцягнуць гэта! Гэй, ну, цягні, цягні… Я дапамагу… Вось: −1 Цяпер, калі ён у нас ёсць, давайце паспрабуем яго выкарыстаць… Вядома, зараз мы можам здабываць карані з усіх адмоўных лікаў, напрыклад.:

√-4 = 2√-1, √16- = 4√-1

- "незалежна ад душэўных пакут, якія гэта цягне за сабой". Гэта тое, што напісаў Джыралама Кардано ў 1539 годзе, спрабуючы пераадолець разумовыя цяжкасці, звязаныя з - як гэта неўзабаве стала называцца - ўяўныя велічыні. Ён лічыў такія вось...

...заданне. Падзяліць 10 на дзве часткі, твор якіх роўны 40. Памятаецца, з папярэдняга эпізоду ён пісаў прыкладна так: Загадзя немагчыма. Аднак паступім так: 10 падзелім на дзве роўныя часткі, кожная роўная 5. Перамножым іх - атрымалася 25. З атрыманых 25 зараз аднімем 40, калі заўгодна, і атрымаецца -15. Цяпер паглядзіце: √-15, дабаўленае і аднятае з 5, дае вам твор 40. Гэта лікі 5-√-15 і 5 + √-15. Праверка выніку была праведзена Cardano наступным чынам:

«Незалежна ад душэўных пакут, якія гэта цягне за сабой, памножце 5 + √-15 на 5-√-15. Атрымліваем 25 - (-15), што роўна 25 + 15. Такім чынам, твор роўна 40…. Гэта сапраўды складана».

Ну колькі гэта: (1 + √-1) (1-√-1)? Давайце памножым. Памятайце, што √-1 × √-1 = -1. Выдатна. Цяпер больш складаная задача: ад a + b√-1 да ab√-1. Што выйшла? Безумоўна, так: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Што ў гэтым цікавага? Напрыклад, тое, што мы ўмеем раскладаць на множнікі выразы, якіх мы "раней не ведалі". Формула скарочанага множання для²-b² вы напэўна памятаеце і формулу для²+b² гэтага не было, бо гэтага не магло быць. У вобласці рэчаісных лікаў мнагачлена²+b² гэта неадхільна. Абазначым «наш» квадратны корань з «мінус адзін» літарай i.²= -1. Гэты «нерэальны» просты лік. І гэта тое, што апісвае паварот самалёта на 90 градусаў. Чаму? Бо і²= -1, а аб'яднанне аднаго павароту на 90 градусаў і другога такога ж павароту дае паварот на 180 градусаў. Які від кручэння апісваецца? Зразумела - паварот на 45 градусаў. А што абазначае лік -i? Гэта крыху складаней:

(-я)² = -i × (-i) = + i² = -1

Такім чынам, -i таксама апісвае паварот на 90 градусаў, толькі ў кірунку, процілеглым кручэнню i. Які з іх левы, а які правы? Вы павінны запісацца на прыём. Мы мяркуем, што лік i задае кручэнне ў напрамку, які матэматыкі лічаць станоўчым: супраць гадзіннікавай стрэлкі. Лік -i апісвае кручэнне ў напрамку руху паказальнікаў.

Але ці існуюць такія лікі, як i і -i? З'яўляюцца! Мы проста ўвасобілі іх у жыццё. Я слухаю? Што яны існуюць толькі ў нашай галаве? Чаго чакаць? Усе астатнія лікі таксама існуюць толькі ў нашым розуме. Нам трэба праверыць, ці выжывуць нашыя нованароджаныя нумары. Дакладней, ці лагічная канструкцыя і ці будуць яны для нечага карысныя. Калі ласка, паверце мне на слова, што ўсё ў парадку і што гэтыя новыя нумары сапраўды карысныя. Лічбы тыпу 3+i, 5-7i, у больш агульным выглядзе: a+bi называюцца комплекснымі лікамі. Я паказаў вам, як вы можаце атрымаць іх, круцячы самалёт. Іх можна ўводзіць па-рознаму: як кропкі плоскасці, як нейкія палінома, як нейкія лікавыя масівы… і кожны раз яны адны і тыя ж: раўнанне x² +1=0 элемента няма… фокус-покус і так ужо есць!!!! Будзем цешыцца і цешыцца!!!

Канец тура

На гэтым наша першая экскурсія па краіне несапраўдных лікаў заканчваецца. З іншых незямных лікаў згадаю яшчэ тыя, якія маюць бясконца шмат лічбаў наперадзе, а не ззаду (яны называюцца 10-адычнымі, для нас важнейшымі з'яўляюцца p-адычныя, дзе p — просты лік), напрыклад X = … … 96109004106619977392256259918212890625

Давайце палічым X, калі ласка². Дык як? Што, калі мы вылічым квадрат ліку, за якім стаіць бясконцая колькасць лічбаў? Што ж, зробім гэтак жа. Даведаемся, што Х² = Х.

Знойдзем іншы такі лік з бясконцым лікам лічбаў наперадзе, які задавальняе ўраўненне. Падказка: квадрат ліку, які заканчваецца на шэсць, таксама заканчваецца на шэсць. Квадрат ліку, які сканчаецца на 76, таксама сканчаецца на 76. Квадрат лікі, які сканчаецца на 376, таксама сканчаецца на 376. Квадрат лікі, які сканчаецца на 9376, таксама сканчаецца на 9376. Ёсць таксама лікі, якія настолькі малыя, што, быўшы дадатнымі, яны застаюцца менш любога іншага дадатнага ліку. Яны настолькі малюсенькія, што часам дастаткова ўзвесці іх у квадрат, каб атрымаць нуль. Існуюць лікі, якія не задавальняюць умовы a × b = b × a. Ёсць таксама бясконцыя лікі. Колькі існуе ўсіх натуральных лікаў? Бясконца шмат? Так, але колькі? Якім лікам гэта можна выказаць? Адказ: найменшае з бясконцых лікаў; ён пазначаны прыгожай літарай: А і дапоўнены нулявым азначнікам А₀ , алеф-нуль.

Ёсць таксама лікі, пра існаванне якіх мы не ведаем… ці ў існаванне якіх можна верыць ці не верыць, як вам заўгодна. І кажучы пра падобнае: я спадзяюся, вам усё яшчэ падабаюцца Нерэальныя Лікі, Лікі Відаў Фантазіі.