Артыкул ні пра што

У дзяцінстве мяне захапіла гісторыя, мусіць, вядомая шматлікім чытачам, пра "суп на цвіку". Мая бабуля (XNUMX стагоддзі нараджэння) распавядала мне гэта ў версіі "Казак прыйшоў і папрасіў вады, таму што ў яго ёсць цвік і ён будзе варыць на ім суп". Цікаўная гаспадыня дала яму рондаль з вадой… і мы ведаем, што было далей: "суп павінен быць салёным, дайцье, бабуля, пасаліць", потым ён памыў мяса "для паляпшэння густу" і гэтак далей. У рэшце рэшт ён выкінуў "вараны" цвік.

Дык вось гэты артыкул павінен быў быць аб пустэчы космасу - а гэта з нагоды пасадкі еўрапейскага апарата на камету 67P/Чурумава-Герасіменкі 12 лістапада 2014. Але пакуль пісала паддалася даўняй звычцы, я ўсё-такі матэматык. Як гэта з падабаццас нуль па матэматыцы?

Як існуе Нішто?

Нельга сказаць, што нічога не існуе. Ён існуе прынамсі як філасофскае, матэматычнае, рэлігійнае і зусім гутарковае паняцце. Нуль - звычайная лічба, нуль градусаў на градусніку - таксама тэмпература, а нулявы баланс у банку - непрыемная, але звычайная з'ява. Майце на ўвазе, што нулявога года ў летазлічэнні няма, і гэта таму, што нуль быў уведзены ў матэматыку толькі ў познім сярэднявеччы, пазней летазлічэння, прапанаванага манахам Дыянісія (XNUMX стагоддзе).

Як ні дзіўна, мы сапраўды маглі б абысціся без гэтага нуля і, такім чынам, без адмоўных лікаў. У адным з падручнікаў па логіцы я знайшла практыкаванне: намалюй ці скажы, як ты ўяўляеш адсутнасць рыбы. Дзіўна, ці не так? Любы можа намаляваць рыбу, але яе адсутнасць?

Цяпер коратка курс па асновах матэматыкі. Прадастаўленне прывілею існавання пустому мноству, адзначанаму перакрэсленым кружком ∅, з'яўляецца неабходнай працэдурай, аналагічнай дабаўленню нуля да мноства лікаў. Пустое мноства - гэта адзінае мноства, якое не ўтрымлівае ніводнага элемента. Такія калекцыі:

Але не існуе двух розных пустых мностваў. Пустое мноства ўваходзіць у кожнае іншае мноства:

Сапраўды, правілы матэматычнай логікі кажуць, што мноства А змяшчаецца ў мностве В тады і толькі тады, калі сказ:

гэта цягне за сабой

У выпадку пустога мноства ∅ прапанова заўсёды ілжывая, і, такім чынам, па законах логікі імплікацыя ў цэлым дакладная. Усё выцякае з хлусні (“вось я вырасту кактус, калі ты пяройдзеш у наступны клас…”). Такім чынам, паколькі пустое мноства ўтрымоўваецца ў кожным з іншых, то, калі б яны былі двума рознымі, кожнае з іх утрымоўвалася б у іншым. Аднак калі два мноства змяшчаюцца адна ў адной, яны роўныя. Вось чаму: ёсць толькі адзін пусты набор!

Пастулат аб існаванні пустога мноства не супярэчыць ніякім законам матэматыкі, дык чаму б не ўвасобіць яго ў жыццё? Філасофскі прынцып, званыбрытва Оккама» Загад выключыць непатрэбныя паняцці, але ў самы раз паняцце пустога мноства вельмі карысна ў матэматыцы. Звярніце ўвагу, што пустое мноства мае памернасць -1 (мінус адзін) - нульмерныя элементы - гэта кропкі і іх разрэджаныя сістэмы, аднамерныя элементы - лініі, а пра вельмі складаныя матэматычныя элементы з фрактальнай памернасцю мы казалі ў чале на фракталах.

Цікава, што ўвесь будынак матэматыкі: лікі, лічбы, функцыі, аператары, інтэгралы, дыферэнцыялы, раўнанні… можна вывесці з аднаго паняцця - пустога мноства! Дастаткова меркаваць, што ёсць пусты набор, зноў створаныя элементы можна аб'яднаць у наборы, каб мець магчымасць пабудаваць усю матэматыку. Так пабудаваў натуральныя лікі нямецкі логік Готлаб Фрэгэ. Нуль - гэта клас мностваў, элементы якіх знаходзяцца ва ўзаемнай адпаведнасці з элементамі пустога мноства. Адзін - гэта клас мностваў, элементы якіх знаходзяцца ва ўзаемнай адпаведнасці з элементамі мноства, адзіным элементам якога з'яўляецца пустое мноства. Два - гэта клас мностваў, элементы якіх узаемна адназначныя з элементамі мноства, які складаецца з пустога мноства і мноства, адзіным элементам якога з'яўляецца пустое мноства ... і гэтак далей. На першы погляд гэта падаецца нечым вельмі складаным, але насамрэч гэта не так.

Сіняя рассцілалася нада мной,

пахла верасам і пахла мятай…

Войцэх Млынарскі, «Дзяўчына з ураджаю»

Цяжка ўявіць

Нішто цяжка ўявіць. У апавяданні Станіслава Лема "Як быў выратаваны свет" канструктар Трурль пабудаваў машыну, якая рабіла б усё, пачынальна з літары. Калі Клапаўцый загадаў яго пабудаваць Nic, машына пачала выдаляць са свету розныя прадметы з канчатковай мэтай прыбраць усё. Да таго часу, калі перапалоханы Клапаўцый спыніў машыну, галеры, цісы, вісячыя, пісакі, рыфмы, венцы, пуфы, Тачыльшчыкі, ражны, філідроны і маразы зніклі са свету назаўжды. І сапраўды, яны зніклі назаўжды…

Юзаф Цішнер вельмі добра напісаў пра нішто ў сваёй "Гісторыі горскай філасофіі". Падчас мінулых канікулаў я вырашыў выпрабаваць гэтае нябыт, а менавіта, я адправіўся ў тарфяныя балоты паміж Новым Таргам і Яблынкай у падхалім. Гэты раён нават называюць Пустачай. Едзеш, едзеш, а дарога не меншае - вядома ў нашым сціплым, польскім маштабе. Аднойчы я праехаў на аўтобусе па канадскай правінцыі Саскачаван. За акном было кукурузнае поле. Я задрамаў паўгадзіны. Калі я прачнуўся, мы ехалі па адным і тым жа кукурузным полі… Але пастойце, гэта пустата? У нейкім сэнсе адсутнасць змен - гэта проста пустата.

Мы прывыклі да пастаяннага наяўнасці вакол нас розных прадметаў, і ад Нешта вы не можаце ўцячы нават з зачыненымі вачамі. «Я думаю, такім чынам, існую», - сказаў Дэкарт. Калі я ўжо нешта падумаў, значыць, я ёсць, а значыць, ёсць хоць нешта ў свеце (менавіта Я). Ці існуе тое, што я думаў? Гэта можна абмяркоўваць, але ў сучаснай квантавай механіцы вядомы прынцып Гейзенберга: кожнае назіранне абурае стан назіранага аб'екта. Пакуль мы яго не назіраем Nic яго не існуе, і калі мы пачынаем глядзець, аб'ект перастае быць падабацца і гэта становіцца Нешта. Гэта даводзіць да абсурду антропны прынцып: няма сэнсу пытацца, якім быў бы свет, калі б нас не было. Свет такі, якім ён нам здаецца. Магчыма, іншыя істоты ўбачаць Зямлю вуглаватай?

Пазітрон (такі станоўчы электрон) - гэта дзірка ў прасторы, "няма электрона". У працэсе анігіляцыі электрон скача ў гэтую дзірку і "нічога не адбываецца" - няма ні дзіркі, ні электрона. Прапушчу мноства жартаў пра дзірачкі ў швейцарскім сыры (“чым больш у мяне ёсць, тым менш там…”). Знакаміты кампазітар Джон Кейдж ужо настолькі выкарыстоўваў свае ідэі, што злажыў (?) музычны твор (?), у якім аркестр сядзіць нерухома 4 хвіліны 33 секунды і, вядома ж, нічога не гуляе. «Чатыры хвіліны і трыццаць тры секунды - гэта дзвесце семдзесят тры, 273, а мінус 273 градусы - гэта абсалютны нуль, на якім спыняецца ўсякі рух», - тлумачыў кампазітар (?).

Адфільтраваць да нуля, нічога, нік, нік, нічога, нуль!

Вожыкі ў фільме Анджэя Вайды «З гадамі,

дні ідуць »

Як наконт Усё?

Многія людзі (ад простых хлебаробаў да выдатных філосафаў) задаваліся пытаннем аб феномене існавання. У матэматыцы справа ідзе проста: ёсць тое, што несупярэчліва.

Яна знікла ў краявых палях

У васільках, быльнягу і львіных пашчах...

Ну, такія рэчы здараюцца

Асабліва ў жніво, і ў час жніва

асабліва…

Войцэх Млынарскі, «Дзяўчына з ураджаю»

Усё знаходзіцца ў іншай крайнасці ад Нішто. У матэматыцы вядома, што Усё не існуе. Проста занадта недакладнае ўяўленне аб тым, што яго існаванне было б свабоднае ад супярэчнасцей. Гэта можна зразумець на прыкладзе старога парадоксу: "Калі Бог усемагутны, то стварыць камень, каб падабраць?" Матэматычны доказ таго, што мноства ўсіх мностваў быць не можа, заснавана на тэарэме спявачка-Берштэйн, што кажа аб тым, што «бясконцы лік» (матэматычна: колькасны лічэбнік) мноства ўсіх членаў дадзенага мноства больш, чым колькасць элементаў гэтага мноства.

Калі мноства мае элементы, то яно мае 2ⁿ падмноства; напрыклад, калі = 3 і набор складаецца з {1, 2, 3}, тады існуюць наступныя падмноствы:

• тры двухэлементных мноства: у кожным з іх адсутнічае адно з лікаў 1, 2, 3,
• адзін пусты набор,
• тры аднаэлементных мноства,
• увесь набор {1,2,3}

– усяго восем, 2³А чытачам, якія нядаўна скончылі школу, хацелася б нагадаць адпаведную формулу:

Кожны з ньютонаўскіх знакаў у гэтай формуле вызначае колькасць набораў k-элементаў у наборы -элементаў.

У матэматыцы биномиальные каэфіцыенты з'яўляюцца ў шматлікіх іншых месцах, напрыклад, у цікавых формулах скарочанага множання:

і з іх дакладнай формы значна цікавейшая іх узаемазалежнасць.

Цяжка зразумець, што - што тычыцца логікі і матэматыкі - ёсць, а што Усё няма. Аргументы на карысць небыцця Усяго тыя ж, што і ў Віні-Пуха, які ветліва спытаў свайго госця, Тыгра, ці кахаюць наогул Тыгры мёд, жалуды і чартапалох? "Тыграм усё падабаецца", - адказаў той, з якога Кубусь зрабіў выснову, што калі ім усё падабаецца, значыць, яны таксама любяць спаць на падлозе, такім чынам, ён, Віні, можа вярнуцца ў ложак.

Іншы аргумент парадокс Рассела. У горадзе ёсць цырульнік, які голіць усіх мужчын, якія не голяцца самі. Ён сам голіцца? Абодва адказы супярэчаць высунутай умове, што забіваюць тых, і толькі тых, хто гэтага не робіць сам.

У пошуках калекцыі ўсіх калекцый

Напрыканцы я прывяду разумны, але найболей матэматычны доказ таго, што не існуе мноства ўсіх мностваў (не блытаць з ім).

Па-першае, мы пакажам, што для любога непустога мноства X немагчыма знайсці ўзаемаўнікальную функцыю, якая адлюстроўвае гэтае мноства ў мноства яго падмностваў P (X). Такім чынам, выкажам здагадку, што гэтая функцыя існуе. Абазначым яго традыцыйным f. Што такое f ад x? Гэта калекцыя. Ці належыць xf з x? Гэта невядома. Альбо ты павінен, альбо не. Але для некаторага х яно ўсё ж павінна быць такім, каб яно не належала f ад х. Што ж, тады разгледзім мноства ўсіх x, для якіх x не прыналежыць f(x). Абазначым яго (гэта мноства) праз А. Яму адпавядае некаторы элемент а мноства X. Ці належыць а А? Дапусцім, вы павінны. Але А ёсць мноства, якое змяшчае толькі тыя элементы з х, якія не належаць f(x)… Ну, можа, яно не належыць А? Але мноства А змяшчае ўсе элементы гэтай уласцівасці, а значыць і А. Канец доказу.

Такім чынам, калі б існавала мноства ўсіх мностваў, яно само было б падмноствам самога сябе, што немагчыма паводле папярэдніх разваг.

Ух, не думаю, што шматлікія чытачы азнаёміліся з гэтым доказам. Хутчэй за ўсё я прывёў яго, каб паказаць, чым павінны былі займацца матэматыкі ў канцы дзевятнаццатага стагоддзя, калі яны прыступілі да вывучэння асноў уласнай навукі. Аказалася, што праблемы крыюцца там, дзе іх ніхто не чакаў. Больш за тое, для ўсёй матэматыкі гэтыя развагі аб падставах не маюць значэння: што б ні адбывалася ў скляпах - увесь корпус матэматыкі стаіць на цвёрдай скале.

Між тым, на вышэйшай прыступцы…

Адзначым яшчэ адну мараль з апавяданняў Станіслава Лема. У адным са сваіх вандровак Іён Тичи дасягнуў планеты, жыхары якой пасля доўгай эвалюцыі нарэшце дасягнулі вышэйшай ступені развіцця. Яны ўсё моцныя, яны могуць усё, у іх усё пад рукой… і яны нічога не робяць. Яны кладуцца на пясок і перасыпаюць яго паміж пальцамі. "Калі ўсё магчыма, яно таго не варта", – тлумачаць узрушанаму Иджону. Ды не здарыцца гэтага з нашай еўрапейскай цывілізацыяй…