СУ КОМУ, гэта значыць: СПРАБУЙ ДЗЕ МОЖАШ – частка 2

У папярэднім эпізодзе мы мелі справу з судоку, арыфметычнай гульнёй, у якой лікі ў асноўным размяшчаюцца на розных дыяграмах у адпаведнасці з пэўнымі правіламі. Самы распаўсюджаны варыянт - шахматная дошка 9×9, дадаткова падзеленая на дзевяць клетак 3×3. Лічбы ад 1 да 9 павінны быць усталяваныя на ім так, каб яны не паўтараліся ні ў вертыкальным шэрагу (матэматыкі кажуць: у слупок), ні ў гарызантальным шэрагу (матэматыкі кажуць: у шэрагу) - і, акрамя таго, каб яны не паўтараліся. паўтарыць у межах любога меншага квадрата.

Na рыс. 1 мы бачым гэтую галаваломку ў прасцейшай версіі, якая ўяўляе сабой квадрат 6 × 6, падзелены на прастакутнікі 2 × 3. Устаўляемы ў яго лікі 1, 2, 3, 4, 5, 6 — так, каб яны не паўтараліся ні па вертыкалі, ні па гарызанталі, ні ў кожным з выдзеленых шасцікутнікаў.

Давайце паспрабуем паказана ў верхнім квадраце. Ці зможаце вы запоўніць яго лічбамі ад 1 да 6 па правілах, устаноўленых для гэтай гульні? Можна - але неадназначна. Паглядзім - дамалёўваем квадрат злева ці квадрат справа.

Можна сказаць, што гэта не аснова для галаваломкі. Звычайна мы мяркуем, што ў галаваломкі ёсць адно рашэнне. Задача пошуку розных падстаў для вялікай судоку, 9×9, з'яўляецца складанай задачай і цалкам вырашыць яе няма ніякіх шанцаў.

Яшчэ адна важная сувязь - супярэчлівая сістэма. Ніжні сярэдні квадрат (той, што з лічбай 2 у правым ніжнім куце) не можа быць завершаны. Чаму?

Весялосць і адступленні

Гуляем далей. Скарыстаемся дзіцячай інтуіцыяй. Яны лічаць, што забаўка - гэта ўвядзенне ў навучанне. Выйдзем у космас. уключаны рыс. 2 усё бачаць сетку тэтраэдрз шарыкаў, напрыклад, шарыкаў для пінг-понга? Успомнім школьныя ўрокі геаметрыі. Колеры ў левай частцы малюнка тлумачаць, да чаго прыляпляецца пры зборцы блока. У прыватнасці, тры кутніх (чырвоных) шарыка будуць склеены ў адзін. Таму ў іх павінен стаяць аднолькавы лік. Можа быць 9. Чаму? І чаму б не?

О, я не сфармуляваў гэта задачы. Гучыць гэта прыкладна так: ці можна ў бачную сетку ўпісаць лікі ад 0 да 9 так, каб кожная грань утрымоўвала ўсе лікі? Задача не складаная, а колькі трэба ўяўляць! Не буду псаваць прыемнасць чытачам і не буду прыводзіць рашэнне.

Гэта вельмі прыгожая і недаацэненая форма правільны актаэдр, Пабудаваны з двух пірамід (=пірамід) з квадратнай падставай. Як вынікае з назвы, у актаэдра восем граняў.

У актаэдры шэсць вяршыняў. Гэта супярэчыць кубякі мае шэсць граняў і восем вяршыняў. Краі абодвух камячкоў аднолькавыя - па дванаццаць. Гэта падвойныя цвёрдыя целы - гэта азначае, што злучыўшы цэнтры граняў куба мы атрымаем актаэдр, а цэнтры граняў актаэдра дадуць нам куб. Абодва гэтыя гузы выконваюць («таму што павінны») формула Эйлера: Сума колькасці вяршыняў і колькасці граняў на 2 большая за колькасць рэбраў.

3. Правільны актаэдр у паралельнай праекцыі і рашотка актаэдра, складзеная са сфер такім чынам, што кожнае рабро мае чатыры сферы.

Заданне 1. Спачатку запішыце апошнюю прапанову папярэдняга абзаца з дапамогай матэматычнай формулы. На рыс. 3 вы бачыце актаэдрычную сетку, таксама якая складаецца з сфер. На кожным рабры па чатыры шары. Кожная грань уяўляе сабой трыкутнік з дзесяці сфер. Самастойна ставіцца задача: ці можна ў кружочкі сеткі паставіць лікі ад 0 да 9 так, каб пасля злепвання суцэльнага цела кожная сценка ўтрымоўвала ўсе лікі (варта, што без паўтарэння). Як і раней, найбольшую цяжкасць у гэтай задачы ўяўляе тое, як сетка ператвараецца ў цвёрдае цела. Я не магу растлумачыць гэта пісьмова, таму і тут не прыводжу рашэньня.

4. Два ікасаэдра з шарыкаў для пінг-понга. Звярніце ўвагу на іншую каляровую схему.

ўжо Платон (а жыў ён у V-IV стст. да н.э.) ведаў усе правільныя шматграннікі: тэтраэдр, куб, актаэдр, дванаццаціграннік i ікасаэдр. Дзіўна, як ён туды патрапіў - ні алоўка, ні паперы, ні ручкі, ні кніг, ні смартфона, ні інтэрнэту! Я не буду казаць тут аб дадэкаэдры. Але цікавая ікасаэдрычная судоку. Мы бачым гэты камяк на ілюстрацыя 4і яго сетку на мал. 5.

5. Правільная сетка ікасаэдра.

Па-ранейшаму, гэта не сетка ў тым сэнсе, у якім мы памятаем (?!) са школы, а спосаб злепвання трыкутнікаў з шароў (шарыкаў).

Заданне 2. Колькі трэба шароў, каб сабраць такі ікасаэдр? Ці застаецца правільным наступнае разважанне: паколькі кожная грань - трыкутнік, калі граняў павінна быць 20, то трэба цэлых 60 сфер?

6. Сетка ікасаэдра са сфер. Кожны круг уяўляе сабой, напрыклад, шарык для пінг-понга, але пабудова гурткоў на акружнасці, адзначаных адным колерам, зліваецца ў адно цэлае. Такім чынам, у нас ёсць дванаццаць сфер (= дванаццаць вяршыняў: чырвоная, сіняя, фіялетавая, сіняя і восем жоўтых).

Няцяжка заўважыць, што трох лікаў у ікасаэдры недастаткова. Дакладней: нельга занумараваць вяршыні нумарамі 1, 2, 3 так, каб кожная (трохкутная) грань мела гэтыя тры нумары і не было паўтораў. А ці можна з чатырма нумарамі? Ды гэта магчыма! Давайце паглядзім на Мал. 6 і 7.

7. Вось як пранумараваць сферы, якія складаюць ікасаэдр, каб кожная грань змяшчала лікі, адрозныя ад 1, 2, 3, 4. Якое з цел на мал. 4 афарбавана такім чынам?

Заданне 3. Тры з чатырох лікаў можна выбраць чатырма спосабамі: 123, 124, 134, 234. Знайдзіце пяць такіх трохвугольнікаў у ікасаэдры на мал. 7 (а таксама з ілюстр. 4).

заданне 4 (трэба вельмі добрае прасторавае ўяўленне). У ікасаэдра дванаццаць вяршыняў, а значыць, яго можна склеіць з дванаццаці шароў (рыс. 7). Звярніце ўвагу, што ёсць тры вяршыні (= шары), пазначаныя лічбай 1, тры - лічбай 2 і гэтак далей. Такім чынам, шарыкі аднаго колеру ўтвораць трыкутнік. Што гэта за трыкутнік? Можа роўнабаковага? Паглядзіце яшчэ раз ілюстр. 4.

Наступнае заданне для дзядулі/бабулі і ўнука/унучкі. Бацькі таксама могуць нарэшце паспрабаваць свае сілы, але ім патрэбны цярпенне і час.

Заданне 5. Купіце дванаццаць (а лепш 24) шарыкаў для пінг-понга, крыху фарбы чатырох колераў, пэндзлік і патрэбны клей - я не рэкамендую хуткія, такія як Суперклей або Кропелька, таму што яны занадта хутка сохнуць і небяспечныя для дзяцей. Прыляпіце ікасаэдр. Апраніце ўнучку ў футболку, якую адразу пасля гэтага памыюць (ці выкінуць). Накрыйце стол фальгой (лепш газетамі). Акуратна размалюйце ікасаэдр чатырма кветкамі 1, 2, 3, 4, як паказана на мал. рыс. 7. Вы можаце змяніць парадак - спачатку размалюйце шарыкі, а затым склейвайце іх. Пры гэтым маленечкія кружочкі трэба пакідаць незафарбаванымі, каб не прыліпала фарба да фарбы.

Цяпер самае складанае заданне (дакладней уся іх паслядоўнасць).

заданне 6 (дакладней агульная тэма). Пабудуйце ікасаэдр як тэтраэдр і актаэдр на Мал. 2 і 3 - значыць, на кожным рабры павінна быць па чатыры шары. У гэтым варыянце задача і працаёмкая, і нават затратная. Пачнём з таго, што высветлім, колькі мячоў спатрэбіцца. Кожная грань мае дзесяць сфер, значыць, для ікасаэдра трэба дзвесце? Не! Мы павінны памятаць, што многія мячы з'яўляюцца агульнымі. Колькі рэбраў у ікасаэдра? Яго можна старанна палічыць, але навошта патрэбна формула Эйлера?

ш-к+с=2

дзе w, k, s - колькасць вяршыняў, рэбраў і граняў адпаведна. Мы памятаем, што w = 12, s = 20, а значыць, k = 30. У нас ёсць 30 рэбраў ікасаэдра. Можна зрабіць інакш, таму што калі трыкутнікаў 20, то ў іх усяго 60 рэбраў, але два з іх агульныя.

Палічым, колькі мячоў трэба. У кожным трыкутніку ёсць толькі адзін унутраны шар - ні на вяршыні нашага цела, ні на рабры. Такім чынам, у нас усяго 20 такіх шароў. Ёсць 12 вяршыняў. На кожным рабры ёсць два нявяршынных шара (яны знаходзяцца ўнутры рабра, але не ўнутры грані). Паколькі рэбраў 30, атрымаецца 60 шарыкаў, але два з іх агульныя, а гэта значыць, што вам трэба ўсяго 30 шарыкаў, так што ўсяго трэба 20 + 12 + 30 = 62 шарыка. Шары можна купіць не менш за за 50 грошаў (звычайна даражэй). Калі дадаць кошт клею, то атрымаецца… шмат. Добрая злепванне патрабуе некалькіх гадзін карпатлівай працы. Усё разам падыходзіць для спакойнага баўлення часу - рэкамендую іх замест, напрыклад, прагляду тэлевізара.

Адступленне 1. У цыкле фільмаў Анджэя Вайды "Па гадах, па днях" двое мужчын гуляюць у шахматы, "таму што трэба неяк прабавіць час да абеду". Гэта адбываецца ў галіцкім Кракаве. Сапраўды: газеты ўжо прачытаныя (тады ў іх было 4 старонкі), тэлевізара і тэлефона яшчэ не вынайшлі, футбольных матчаў няма. Нуда па лужынах. У такой сітуацыі людзі прыдумалі сабе забаўку. Сёння яны ў нас пасля націску на пульт…

Адступленне 2. На сходзе Асацыяцыі настаўнікаў матэматыкі ў 2019 годзе іспанскі прафесар прадэманстраваў камп'ютарную праграму, якая можа размалёўваць сцены з цвёрдых цел у любы колер. Было крыху жудаснавата, таму што малявалі толькі рукі, амаль адрэзалі цела. Я падумаў пра сябе: колькі задавальнення можна атрымаць ад такой "зафарбоўкі"? На ўсё ідзе дзве хвіліны, а да чацвёртай мы ўжо нічога не памятаем. Тым часам старамоднае «рукадзелле» супакойвае і выхоўвае. Хто не верыць, няхай паспрабуе.

Вернемся ў XNUMX стагоддзе і да нашых рэалій. Калі мы не жадаем паслабленні ў выглядзе працаёмкага злепвання шароў, то намалюем хоць бы сетку ікасаэдра, рэбры якой маюць чатыры шара. Як гэта зрабіць? Крышыць правільна мал. 6. Уважлівы чытач ужо адгадвае задачу:

Заданне 7. Ці можна занумараваць шары лікамі ад 0 да 9 так, каб усе гэтыя лікі апынуліся на кожнай грані такога ікасаэдра?

Завошта нам плацяць?

Сёння мы часта задаемся пытаннем аб мэце нашай дзейнасці, а "шэры падаткаплацельшчык" спытае, чаму ён павінен плаціць матэматыкам за вырашэнне такіх галаваломак?

Адказ даволі просты. Такія "галаваломкі", цікавыя самі па сабе, з'яўляюцца "фрагментам чагосьці больш сур'ёзнага". Бо ваенныя парады - гэта толькі знешняя, відовішчная частка нялёгкай службы. Я прывяду толькі адзін прыклад, але пачну з дзіўнага, але сусветна прызнанага матэматычнага прадмета. У 1852 годзе англійскі студэнт спытаўся ў свайго прафесара, ці можна якую-небудзь карту размаляваць чатырма кветкамі, каб суседнія краіны заўсёды адлюстроўваліся рознымі кветкамі? Дазвольце мне дадаць, што мы не лічым «суседнімі» тыя, якія сустракаюцца толькі ў адной кропцы, напрыклад, штаты Ваёмінг і Юта ў ЗША. Прафесар не ведаў… і праблема чакала рашэння больш за сто гадоў.

8. Ікасаэдр з блокаў РЭКА. Адбівальнікі ўспышкі паказваюць, што агульнага ў ікасаэдра з трыкутнікам і пяцікутнікам. У кожнай вяршыні сыходзяцца пяць трыкутнікаў.

Гэта адбылося з нечаканага боку. У 1976 годзе група амерыканскіх матэматыкаў напісала праграму для вырашэння гэтай праблемы (і яны вырашылі: так, чатырох колераў заўсёды будзе дастаткова). Гэта быў першы доказ матэматычнага факту, атрыманае з дапамогай "матэматычнай машыны" – як паўстагоддзя таму называлі кампутар (а яшчэ раней: "электронны мозг").

Вось спецыяльна паказаная "карта Еўропы" (рыс. 9). Тыя краіны, якія маюць агульную мяжу, звязаны. Размалёўваць карту - гэта тое ж самае, што размалёўваць акружнасці гэтага графа (званага графам) так, каб ніякія злучаныя акружнасці не былі аднаго колеру. Погляд на Ліхтэнштэйн, Бельгію, Францыю і Нямеччыну паказвае, што трох колераў недастаткова. Калі хочаш, Чытач, раскрыся чатырма кветкамі.

9. Хто з кім мяжуе ў Еўропе?

Ну так, але ці варта гэта грошай падаткаплацельшчыкаў? Такім чынам, давайце паглядзім на той жа графік крыху па-іншаму. Забудзем, што ёсць дзяржавы і межы. Няхай колы сімвалізуюць інфармацыйныя пакеты, якія падлягаюць адпраўцы з адной кропкі ў іншую (напрыклад, з P у EST), а адрэзкі - магчымыя злучэнні, кожнае з якіх мае сваю прапускную здольнасць. Адправіць як мага хутчэй?

Па-першае, давайце разгледзім вельмі спрошчаную, але таксама вельмі цікавую з матэматычнага пункта гледжання сітуацыю. Мы павінны адправіць нешта з кропкі S (= як пачатак) у кропку M (= фініш), выкарыстоўваючы сетку злучэнняў з той жа прапускной здольнасцю, скажам, 1. Мы бачым гэта ў рыс. 10.

10. Сетка злучэнняў ад Стацыйкі Здруй да Мегаполіса.

Уявім, што ад S да M трэба адправіць каля 89 біт інфармацыі. Аўтару гэтых слоў падабаюцца задачы аб цягніках, таму ён уяўляе, што ён менеджэр на Стацыі Здруй, адкуль ён павінен накіраваць 144 вагоны. да станцыі Мегаполіс. Чаму менавіта 144? Бо, як мы ўбачым, гэта будзе выкарыстоўвацца для разліку прапускной здольнасці ўсёй сеткі. Умяшчальнасць роўная 1 на кожным участку, г.зн. у адзінку часу можа праехаць адзін вагон (адзін інфармацыйны біт, магчыма, таксама Гігабайт).

Пераканаемся, што ўсе вагоны сустракаюцца адначасова ў M. Усе дабіраюцца туды за 89 адзінак часу. Калі ў мяне ёсць вельмі важны інфармацыйны пакет ад S да M для адпраўкі, я разбіваю яго на групы па 144 адзінкі і прапіхваю, як паказана вышэй. Матэматыка гарантуе, што гэта будзе самае хуткае. Як я даведаўся, што вам трэба 89? Я на самой справе здагадаўся, але калі б я не здагадаўся, мне давялося б разабрацца. ураўненне Кірхгофа (хто-небудзь памятае? – гэта раўнанні, якія апісваюць плынь току). Прапускная здольнасць сеткі складае 184/89, што прыкладна роўна 1,62.

Аб радасці

Дарэчы, мне падабаецца нумар 144. Мне падабалася ездзіць на аўтобусе з гэтым нумарам да Замкавай плошчы ў Варшаве - калі побач з ёй не было адноўленага Каралеўскага замка. Магчыма, юныя чытачы ведаюць, што такое тузін. Гэта 12 копій, але толькі чытачы старэй памятаюць, што тузін тузін, г.зн. 122=144, гэта так званая шмат. І ўсе, хто ведае матэматыку крыху больш, чым па школьнай праграме, адразу зразумеюць, што рыс. 10 у нас ёсць лікі Фібаначы і што прапускная здольнасць сеткі блізкая да «залатога ліку»

У паслядоўнасці Фібаначы 144 — адзіны лік, які з'яўляецца поўным квадратам. Сто сорак чатыры - таксама "радасны лік". Вось як індыйскі матэматык-аматар Дататрэя Рамачандра Капрекар у 1955 годзе ён назваў лікі, якія дзеляцца на суму складнікаў іх лічбаў:

Калі б ён ведаў гэта Адам Міцкевіч, ён абавязкова напісаў бы няма ў Дзяды: «Ад чужой маці; яго кроў - яго старыя героі / І імя яму сорак чатыры, толькі хупавей: І імя яму сто сорак чатыры.

Ставіцеся да забаў сур'ёзна

Спадзяюся, я пераканаў чытачоў у тым, што задачы-галаваломкі судоку - гэта забаўляльны бок пытанняў, якія, безумоўна, заслугоўваюць сур'ёзных адносін. Я не магу больш разьвіваць гэтую тэму. О, поўны разлік прапускной здольнасці сеткі з дыяграмы, прадстаўленай на рыс. 9 напісанне сістэмы раўнанняў заняло б дзве ці больш гадзіны - магчыма, нават дзясяткі секунд (!) працы кампутара.