Каляровыя квадраты і сонечныя зацьменні
У артыкуле апісаны мае заняткі для навучэнцаў сярэдніх класаў - стыпендыятаў Нацыянальнага дзіцячага фонду. Фонд займаецца пошукам асабліва адораных дзяцей і моладзі (ад XNUMX-га класа пачатковай школы да старэйшай школы) і прапануе абраным вучням "стыпендыі". Аднак яны заключаюцца зусім не ў зняцці наяўных грошай, а ва ўсебаковым клопаце аб развіцці таленту, як правіла, на працягу многіх гадоў. У адрозненне ад многіх іншых праектаў падобнага тыпу, да падапечных Фонду сур'ёзна ставяцца вядомыя вучоныя, дзеячы культуры, выдатныя гуманісты і іншыя мудрыя людзі, а таксама некаторыя палітыкі.
Дзейнасць Фонду распаўсюджваецца на ўсе дысцыпліны, якія з'яўляюцца базавымі школьнымі прадметамі, акрамя спорту, у тым ліку мастацтва. Фонд быў створаны ў 1983 годзе як проціяддзе ад тагачаснай рэальнасці. У фонд можа звярнуцца любы ахвочы (звычайна праз школу, пажадана да канца навучальнага года), але, вядома, ёсць пэўнае сіта, пэўная кваліфікацыйная працэдура.
Як я ўжо згадваў, артыкул заснаваны на маіх майстар-класах, канкрэтна ў Гдыні, у сакавіку 2016 года, у 24-й няпоўнай сярэдняй школе пры III сярэдняй школе. Ваенна-марскога флота. На працягу многіх гадоў гэтыя семінары арганізуе пад эгідай Фонду Войцех Тамальчык, выкладчык надзвычайнай харызмы і высокага інтэлектуальнага ўзроўню. У 2008 годзе ён увайшоў у дзесятку найлепшых у Польшчы, якім было прысвоена званне прафесара педагогікі (прадугледжана законам шматгадовай даўніны). У сцвярджэнні: "Адукацыя - вось свету", ёсць невялікае перабольшанне.
і месяц заўсёды зачароўваюць - тады можна адчуць, што мы жывем на малюсенькай планеце ў велізарнай прасторы, дзе ўсё знаходзіцца ў руху, вымяраным сантыметрамі і секундамі. Мяне гэта нават крыху палохае, яшчэ і часовая перспектыва. Даведаемся, што наступнае поўнае зацьменне, бачнае з раёна сённяшняй Варшавы, будзе ў… 2681 годзе. Цікава, хто яго ўбачыць? Бачныя памеры Сонца і Месяца на нашым небе амаль аднолькавыя - вось чаму зацьменні такія кароткія і такія эфектныя. На працягу стагоддзяў гэтых кароткіх хвілін павінна быць дастаткова, каб астраномы ўбачылі сонечную карону. Дзіўна, што яны здараюцца два разы на год… але гэта азначае толькі тое, што недзе на Зямлі іх можна ўбачыць на кароткі прамежак часу. У выніку прыліўных рухаў Месяц выдаляецца ад Зямлі - праз 260 мільёнаў гадоў гэта будзе так далёка, што мы (мы???) будзем бачыць толькі колцападобныя зацьменні.
Відаць, першым прадказаў зацьменне, быў Фалес Мілецкі (28-585 стст. да н.э.). Мы, верагодна, не даведаемся, ці было яно насамрэч, гэта значыць ці прадказаў ён, бо тое, што зацьменне ў Малой Азіі адбылося 567 траўня 566 г. да н.э., з'яўляецца фактам, пацверджаным сучаснымі разлікамі. Зразумела, я прыводжу дадзеныя па сёньняшнім рахунку часу. Калі я быў дзіцем, я ўяўляў, як людзі лічылі гады. Дык гэта, напрыклад, XNUMX год да нашай эры, надыходзіць навагодняя ноч і людзі цешацца: усяго XNUMX гадоў да «н.э.»! Як, мусіць, яны былі шчаслівыя, калі нарэшце наступіла «наша эра»! Што за мяжа тысячагоддзяў, якую мы перажылі некалькі гадоў таму!
Матэматыка вылічэнні дат і дыяпазонаў зацьмення, не асоба складаная, але нашпігаваная ўсякімі фактарамі, звязанымі з рэгулярнасцю і, што яшчэ горш, з нераўнамернасцю руху цела па арбітах. Я б нават хацеў ведаць гэтую матэматыку. Як мог Фалес Мілецкі зрабіць неабходныя разлікі? Адказ просты. У вас павінна быць карта зорнага неба. Як зрабіць такую карту? Гэта таксама не складана, старажытныя егіпцяне ўмелі гэта рабіць. Апоўначы на дах храма выходзяць два святары. Кожны з іх садзіцца і малюе тое, што бачыць (як і ягоны калега). Праз дзве тысячы гадоў мы ведаем аб руху планет усё…
Прыгожая геаметрыя, ці весялосць на кілімку
Грэкі не любілі ліку, яны звярталіся да геаметрыі. Гэта тое, што мы будзем рабіць. Наш зацьменне яны будуць простымі, маляўнічымі, але такімі ж цікавымі і рэальнымі. Прымем дамову, што сіняя фігура рухаецца так, што засланяе чырвоную. Назавем сінюю постаць месяцам, а чырвоную - сонцам. Мы задамо сабе наступныя пытанні:
- колькі доўжыцца зацьменне;
- калі палова мішэні пакрыта;
Мал. 1 Рознакаляровы «дыван» з сонцам і месяцам
- які максімальны ахоп;
- можна прааналізаваць залежнасць ахопу шчыта ад часу? У гэтым артыкуле (я абмежаваны аб'ёмам тэксту) я спынюся на другім пытанні. За гэтым стаіць прыемная геаметрыя, магчыма, без сумных разлікаў. Паглядзім на мал. 1. Ці можна меркаваць, што ён будзе звязаны з… сонечным зацьменнем?
Павінен шчыра сказаць, што задачы, якія я буду абмяркоўваць, будуць спецыяльна падабраны, адаптаваны да ведаў і ўменняў вучняў сярэдніх і старэйшых класаў. Але мы трэніруемся на такіх заданнях, як музыканты іграюць гамы, а спартсмены робяць агульнаразвіваючыя практыкаванні. Акрамя таго, хіба гэта не проста прыгожы кілімок (мал. 1)?
Мал. 2 «Сіні» Месяц і «чырвонае» Сонца
Нашы нябесныя целы, прынамсі на пачатковым этапе, будуць каляровымі квадратамі. Месяц сіні, сонца чырвонае (лепш за ўсё для размалёўвання). З сучаснасцю зацьменне Месяц гоніцца за сонцам па небе, даганяе… і закрывае яго. Таксама будзе і ў нас. Самы просты выпадак, калі Месяц рухаецца адносна Сонцы, як паказана на мал. 2. Зацьменне пачынаецца, калі край дыска Месяца тычыцца краю дыска Сонца (мал. 2), і заканчваецца, калі ён выходзіць за яго межы.
Мал. 3 Месяц набліжаецца да сонца па дыяганалі
Мы мяркуем, што "Месяц" перамяшчаецца на адну клетку ў адзінку часу, напрыклад, у хвіліну. Затым зацьменне доўжыцца восемь адзінак часу, скажам, хвілін. Палова сонечныя зацьменні цалкам зацямняецца Палова цыферблата зачыняецца двойчы: праз 2 і 6 хвілін. Графік залежнасці "працэнт зацямнення" просты. На працягу першых двух хвілін шчыт зачыняецца раўнамерна са хуткасцю нуль да 1, наступныя дзве хвіліны з той жа хуткасцю агаляецца.
Вось цікавейшы прыклад (мал. 3). Месяц набліжаецца да сонца па дыяганалі. Па нашай дамове аб пахвіліннай аплаце зацьменне доўжыцца 8√2 хвілін - у сярэдзіне гэтага часу ў нас ёсць поўнае зацьменне. Падлічым, якая частка сонца зачынена праз час t (мал. 3). Калі з пачатку зацьмення прайшло t хвілін і ў выніку Месяц такі, як паказана на мал. 5, то (увага!) таму пакрыта (плошча квадрата APQR), роўная палове сонечнага дыска таму накрылі калі, г.зн. праз 4 хвіліны (тады за 4 хвіліны да заканчэння зацьмення).
Мал. 4 Графік функцыі «зацянення»
Татальнасць доўжыцца адзін момант (t = 4√2), а графік функцыі «зацененая частка» складаецца з двух дуг парабал (мал. 4).
Наш блакітны Месяц будзе дакранацца кута з чырвоным Сонцам, але яно будзе накрываць яго, ідучы не па дыяганалі, а ледзь па дыяганалі. Цікавая геаметрыя з'яўляецца, калі мы крыху ўскладняем рух (мал. 6). Кірунак руху зараз вектарнае [4,3], гэта значыць "чатыры клеткі направа, тры клеткі ўверх". Становішча Сонца такое, што зацьменне пачынаецца (пазіцыя А), калі бакі "нябесных цел" сыходзяцца на чвэрць іх даўжыні. Калі Месяц перамесціцца ў становішча B, яна зацямніць адну шостую частку Сонца, а ў становішчы C зацямніць палову. У становішчы D у нас поўнае зацьменне, а потым усё ідзе назад, "як было".
Мал. 5 Частка Сонца, схаваная за час t
Зацьменне заканчваецца, калі Месяц знаходзіцца ў становішчы G. Яно доўжылася столькі, колькі даўжыня ўчастка AG. Калі, як і раней, прыняць за адзінку часу час, за які Месяц праходзіць «адзін квадрат», то даўжыня АГ роўная. Калі б мы вярнуліся да ранейшай дамовы, паводле якой нашы нябесныя целы 4 на 4, вынік быў бы іншым (што?). Як лёгка паказаць, мэта зачыняецца пасля t < 15. Графік функцыі "працэнт пакрыцця экрана" можна ўбачыць на мал. 6.
Мал. 6 Графік функцыі "працэнт абароны"
Раўнанне зацьмення і скачка
Мал. 7 Абструкцыя сонечнага дыска падчас зацьмення, паказанага на мал. 6
Праблема зацьменняў была б няпоўнай, калі б мы не разгледзелі выпадак колаў. Гэта значна складаней, але давайце паспрабуем разабрацца, калі адна акружнасць засланяе палову іншай - і ў найпростым выпадку, калі адна з іх рухаецца па дыяметры, які злучае іх абедзве. Малюнак знаёмы трымальнікам якой-небудзь крэдыткі.
Разлік становішча палёў складзены, бо патрабуе, па-першае, веды формулы пляца кругавога адрэзка, па-другое, веды дугі кута, і па-трэцяе (і самае дрэннае), уменне вырашаць вызначанае раўнанне скоку. Не буду тлумачыць, што такое «транзітыўнае ўраўненне», паглядзім на прыкладзе (мал. 8).
Мал. 8 «Сферычнае» зацьменне
Кругавы перасек - гэта «чара», якая застаецца пасля разразання круга прамой лініяй. Плошча такога адрэзка роўна S = 1/2r2(φ-sinφ), дзе r — радыус акружнасці, а φ — цэнтральны вугал, на які абапіраецца адрэзак (мал. 8). Гэта лёгка атрымаць, адымаючы плошчу трыкутніка з плошчы кругавога сектара.
Эпізод Аб1O2 (адлегласць паміж цэнтрамі кругоў) тады роўна 2rcosφ/2, а вышыня (шырыня, лінія таліі) h = 2rsinφ/2. Такім чынам, калі мы жадаем разлічыць, калі Месяц зачыніць палову сонечнай кружэлкі, нам трэба вырашыць раўнанне: якое пасля спрашчэння прымае выгляд:
Мал. 9 Графікі двух функцый
Рашэнне такіх раўнанняў выходзіць за рамкі простай алгебры - у раўнанні прысутнічаюць як куты, так і іх трыганаметрычныя функцыі. Раўнанне выходзіць за рамкі дасяжнасці традыцыйных метадаў. Вось чаму гэта называецца скокнуць. Давайце спачатку паглядзім графікі абедзвюх функцый, г. зн. функцый і функцый. Набліжанае рашэнне мы можам прачытаць з гэтага малюнка. Аднак мы можам атрымаць апраксімацыю ітэратыўным метадам ці… выкарыстоўваць опцыю Solver у электроннай табліцы Excel. Гэта павінен умець кожны старшакласнік, бо на двары 20 стагоддзе. Я выкарыстаў больш складаную прыладу Mathematica, і вось наша рашэнне з непатрэбнай дакладнасцю ў XNUMX знакаў пасля коскі:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Мал. 10 Анімацыя зацьмення ў matematica
Мы ператвараем гэта ў градусы, множачы на 180/π. Атрымліваем 132 градусы, 20 хвілін, 45 і чвэрць кутняй секунды. Разлічым, што адлегласць да цэнтра акружнасці роўна O1O2 = 0,808 радыусу, а "талія" 2,310.
