Геаметрычныя дарожкі і зараснікі
Пры напісанні гэтага артыкула я ўспомніў вельмі старую песню Яна Петшака, якую ён спяваў перад сваёй сатырычнай дзейнасцю ў кабарэ Pod Egidą, прызнанай у Польскай Народнай Рэспубліцы ахоўным клапанам; можна было сапраўды пасмяяцца над парадоксамі сістэмы. У гэтай песні аўтар рэкамендаваў сацыялістычны палітычны ўдзел, высмейваючы тых, хто хоча быць апалітычным, і выключаючы радыё ў газеце. "Лепш вярнуцца да школьнага чытання", – іранічна спяваў тады XNUMX-гадовы Петшак.
Я вяртаюся да школьнага чытання. Перачытваю (ужо не першы раз) кнігу Шчэпана Яленскага (1881-1949) “Лылаваці”. Нямногім чытачам нешта кажа само слова. Гэта імя дачкі вядомага індускага матэматыка, вядомага як Бхаскара (1114-1185), на імя Акарыя, або мудраца, які азагаловіў сваю кнігу па алгебры гэтым імем. Пазней Лілаваці сама стала вядомым матэматыкам і філосафам. Па іншых дадзеных, менавіта яна сама напісала кнігу.
Гэтак жа назваў сваю кнігу па матэматыцы Шчэпан Яленскі (першае выданне – 1926 г.). Гэтую кнігу, можа быць, нават цяжка назваць матэматычнай працай - гэта быў хутчэй набор галаваломак, прычым шмат у чым перапісаны з французскіх крыніц (аўтарскіх правоў у сучасным разуменні не існавала). Ва ўсякім разе, на працягу многіх гадоў гэта была адзіная польская папулярная кніга па матэматыцы – пазней да яе была дададзена другая кніга Яленскага, «Саладамі Піфагора». Так што маладым людзям, якія цікавяцца матэматыкай (а менавіта такім я калісьці быў) выбіраць не было з чаго…
з іншага боку, "Лілаваці" трэба было ведаць амаль на памяць... Эх, былі часы... Самая вялікая іх перавага была ў тым, што я быў... падлеткам тады. Сёння, з пункту гледжання добра адукаванага матэматыка, я гляджу на Лілаваці зусім па-іншаму - можа быць, як альпініст на выгінах сцежкі ў Шпігласаву Пшэленч. Ні той, ні іншы не губляюць сваёй чароўнасці… У характэрным для яго стылі Шчэпан Яленскі, які вызнае ў асабістым жыцці так званую нацыянальныя ідэі, ён піша ў прадмове:
Не дакранаючыся апісанні нацыянальных асаблівасцяў, скажу, што і па сканчэнні дзевяноста гадоў словы Яленскага аб матэматыцы не згубілі сваёй актуальнасці. Матэматыка вучыць думаць. Гэта факт. Ці можам мы навучыць вас думаць інакш, прасцей і прыгажэй? Можа быць. Проста… мы ўсё яшчэ не можам. Я тлумачу сваім вучням, якія не жадаюць займацца матэматыкай, што гэта таксама праверка іх разумовых здольнасцяў. Калі ты не можаш вывучыць сапраўды простую матэматычную тэорыю, тады… можа, твае разумовыя здольнасці горшыя, чым нам абодвум хацелася б…?
Знакі на пяску
І вось першае апавяданне ў «Лылаваці» — апавяданне, апісанае французскім філосафам Жазэфам дэ Местрам (1753-1821).
Марака з пацярпелага крушэнне карабля выкінула хвалямі на пусты бераг, які ён лічыў бязлюдным. Раптам у прыбярэжным пяску ён убачыў след намаляванай перад кімсьці геаметрычнай фігуры. Тут ён і зразумеў, што востраў не бязлюдны!
Цытуючы дэ Местры, Яленскі піша: геаметрычная фігурабыло б нямым выразам для няшчаснага, які пацярпеў караблекрушэнне, супадзенне, але ён паказаў яму з першага погляду прапорцыю і лік, і гэта абвясціла чалавека адукаванага». Так многа для гісторыі.
Заўважце, такую ўжо рэакцыю выкліча марак, напрыклад, намаляваўшы літару Да,… і любыя іншыя сляды прысутнасці чалавека. Тут ідэалізавана геаметрыя.
Тым не менш, астраном Каміль Фламмарыён (1847-1925) прапанаваў, каб цывілізацыі віталі адзін аднаго на адлегласці з дапамогай геаметрыі. Ён бачыў у гэтым адзіна правільную і магчымую спробу зносін. Пакажам такім марсіянам піфагарэйскія трыкутнікі… яны адкажуць нам Фалесам, мы ім адкажам узорамі Віета, у іх круг у трыкутнік упішацца, вось і завязалася сяброўства…
Да гэтай ідэі вярнуліся такія пісьменнікі, як Жуль Верн і Станіслаў Лем. А ў 1972 годзе пліткі з геаметрычнымі (і не толькі) малюнкамі былі размешчаны на борце зонда «Піянер», які да гэтага часу перасякае прасторы космасу, зараз ужо амаль у 140 астранамічных адзінках ад нас (1 I – сярэдняя адлегласць Зямлі ад Зямлі). Сонца, г. зн. каля 149 млн км). Плітка была распрацавана, у прыватнасці, астраном Фрэнк Дрэйк, стваральнік спрэчнага правіла аб колькасці пазаземных цывілізацый.
З геаметрыяй наогул дзівосна. Усім нам вядомы агульны пункт гледжання на паходжанне гэтай навукі. Мы (мы, людзі) толькі пачалі вымяраць зямлю (а затым і зямлю) у самых утылітарных мэтах. Вызначэнне адлегласцей, маляванне прамых ліній, разметка прамых вуглоў і разлік аб'ёмаў паступова станавіліся неабходнасцю. Адсюль і ўся справа геаметрыя (“Вымярэнне зямлі”), адсюль і ўся матэматыка…
Аднак на нейкі час гэтая ясная карціна гісторыі навукі затуманіла нас. Бо калі б матэматыка была патрэбна выключна для аператыўных мэт, мы не займаліся б доказам простых тэарэм. "Вы бачыце, што гэта наогул павінна быць дакладна", – скажа кожны, праверыўшы, што ў некалькіх прастакутных трыкутніках сума квадратаў гіпатэнузы роўная квадрату гіпатэнузы. Чаму такі фармалізм?
Пірог са слівамі павінен быць смачным, камп'ютарная праграма павінна працаваць, машына павінна працаваць. Калі я трыццаць разоў палічыў ёмістасць бочкі і ўсё ў парадку, дык навошта яшчэ?
Тым часам старажытным грэкам прыйшло ў галаву, што неабходна знайсці нейкія фармальныя доказы.
Такім чынам, матэматыка пачынаецца з Фалеса (625-547 да н.э.). Мяркуецца, што менавіта Мілет пачаў задавацца пытаннем, чаму. Разумным людзям мала таго, што яны нешта бачылі, што яны ў нечым перакананы. Яны бачылі неабходнасць доказу, лагічнай паслядоўнасці аргументаў ад дапушчэння да тэзы.
Яны таксама хацелі большага. Верагодна, менавіта Фалес першым паспрабаваў растлумачыць фізічныя з'явы натуралістычным шляхам, без боскага ўмяшання. Еўрапейская філасофія пачалася з філасофіі прыроды - з таго, што ўжо стаіць за фізікай (адсюль і назва: метафізіка). Але асновы еўрапейскай анталогіі і натурфіласофіі заклалі піфагарэйцы (Піфагор, ок. 580- ок. 500 да н. э.).
Ён заснаваў уласную школу ў Кротоне на поўдні Апенінскага паўвострава - сёння мы б назвалі яе сектай. Навука (у цяперашнім сэнсе гэтага слова), містыцызм, рэлігія і фантазія - усё гэта цесна пераплялося. Томас Ман вельмі прыгожа прадставіў урокі матэматыкі ў нямецкай гімназіі ў рамане «Доктар Фаўстус». У перакладзе Марыі Курэцкай і Вітольда Вірпшы гэты фрагмент абвяшчае:
У цікавай кнізе Чарльза ван Дорэна "Гісторыя ведаў ад зары гісторыі да нашых дзён" я знайшоў вельмі цікавы пункт гледжання. У адной з частак аўтар апісвае значэнне піфагарэйскай школы. Сама назва кіраўніка мяне ўразіла. Ён абвяшчае: «Вынаходства матэматыкі: піфагарэйцы».
Мы часта абмяркоўваем, ці адкрываюцца матэматычныя тэорыі (напрыклад, невядомыя землі) ці вынаходзяцца (напрыклад, машыны, якіх раней не існавала). Некаторыя творчыя матэматыкі лічаць сябе даследчыкамі, іншыя - вынаходнікамі або канструктарамі, радзей лічыльнікамі.
Але аўтар названай кнігі піша аб вынаходстве матэматыкі ў цэлым.
Ад перабольшання да памылкі
Пасля гэтай доўгай уступнай часткі я перайду да самага пачатку геаметрыя, Каб апісаць, як празмерная вера ў геаметрыю можа ўвесці вучонага ў зман. Іяган Кеплер вядомы ў фізіцы і астраноміі як першаадкрывальнік трох законаў руху нябесных целаў. Па-першае, кожная планета Сонечнай сістэмы рухаецца вакол Сонца па эліптычнай арбіце, у адным з фокусаў якой знаходзіцца Сонца. Па-другое, праз роўныя прамежкі вядучы прамень планеты, праведзены ад Сонца, прачэрчвае роўныя палі. Па-трэцяе, стаўленне квадрата перыяду звароту планеты вакол Сонцы да куба вялікай паўвосі яе арбіты (т. е. сярэдняй адлегласці ад Сонцы) стала для ўсіх планет Сонечнай сістэмы.
Магчыма, гэта быў трэці закон - для яго ўсталявання патрабавалася шмат дадзеных і вылічэнняў, што заахвоціла Кеплера працягнуць пошук заканамернасці ў руху і становішчы планет. Гісторыя яго новага "адкрыцця" вельмі павучальная. Са старажытнасці мы захапляемся не толькі правільнымі шматграннікамі, але і развагамі, якія паказваюць, што ў прасторы іх усяго пяць. Трохмерны мнагаграннік называецца правільным, калі яго грані з'яўляюцца аднолькавымі правільнымі многавугольнікамі і кожная вяршыня мае аднолькавую колькасць рэбраў. Ілюстратыўна: кожны кут правільнага шматгранніка павінен "выглядаць аднолькава". Самы вядомы шматграннік - куб. Усе бачылі звычайную шчыкалатку.
Правільны тэтраэдр менш вядомы, і ў школе яго называюць правільнай трохкутнай пірамідай. Падобна на піраміду. Астатнія тры правільных мнагагранніка менш вядомыя. Актаэдр утворыцца, калі мы злучаем цэнтры рэбраў куба. Дадэкаэдр і ікасаэдр ужо выглядаюць як шары. Зробленыя з мяккай скуры, імі было б зручна капаць. Разважанне аб тым, што не існуе правільных шматграннікаў, акрамя пяці Платонавых цел, вельмі добрае. Па-першае, усведамляем, што калі цела правільнае, то ў кожнай вяршыні павінна збягацца аднолькавая колькасць (хай q) аднолькавых правільных шматкутнікаў, няхай гэта будуць p-куты. Цяпер нам трэба ўспомніць, які кут у правільным шматкутніку. Калі хто не памятае са школы, нагадваем, як знайсці патрэбную выкрайку. Мы адправіліся ў падарожжа за вугал. У кожнай вяршыні мы паварочваемся на адзін і той жа вугал а. Калі мы абыходзім шматкутнік і вяртаемся ў зыходную кропку, мы зрабілі р такіх паваротаў, і за ўсё мы павярнуліся на 360 градусаў.
Але α з'яўляецца дадаткам на 180 градусаў да кута, які мы хочам вылічыць, і, такім чынам, роўны
Мы знайшлі формулу вугла (матэматык сказаў бы: меры вугла) правільнага многавугольніка. Праверым: у трохвугольніку p = 3, не a
Вось так. Калі p = 4 (квадрат), то
градусаў і таксама нармальна.
Што мы атрымліваем за пяцікутнік? Так што ж адбываецца, калі q многавугольнікаў, кожны з якіх p мае аднолькавыя вуглы
градусаў, спускаецца ў адной вяршыні? Калі б ён быў на плоскасці, то ўтварыўся б кут
градусаў і не можа быць больш за 360 градусаў - таму што тады палігоны перакрываюцца.
Аднак, паколькі гэтыя многавугольнікі сустракаюцца ў прасторы, вугал павінен быць меншы за поўны вугал.
А вось няроўнасць, з якой усё гэта выцякае:
Падзелім яго на 180, абедзве часткі памножым на p, закажам (p-2) (q-2) < 4. З чаго вынікае? Давайце ўсведамляем, што p і q павінны быць натуральнымі лікамі і што p > 2 (чаму? І што такое p?), а таксама q > 2. Існуе не так ужо шмат магчымасцяў зрабіць здабытак двух натуральных лікаў меншым за 4. Мы пералічым іх усе у табліцы 1.
Чарцяжы не выкладваю, гэтыя фігуры кожны можа ўбачыць у Інтэрнеце... У Інтэрнеце... Не адмоўлюся ад лірычнага адступлення - магчыма, цікава для юных чытачоў. У 1970 годзе я выступаў на сэмінары. Тэма была складанай. У мяне было мала часу на падрыхтоўку, я сядзеў па вечарах. Асноўны артыкул быў даступны толькі для чытання на месцы. Месца было ўтульнае, з працоўнай атмасферай, ну і зачынялася ў сем. Потым нявеста (цяпер ужо жонка) сама прапанавала перапісаць мне ўвесь артыкул: старонак з дзясятак друкаванага. Перапісала (не, не гусіным пяром, у нас нават былі ручкі), лекцыя атрымалася. Сёння спрабаваў знайсці гэтую публікацыю, якая ўжо старая. Запомніў толькі імя аўтара… Пошукі ў інтэрнэце працягваліся доўга… цэлых пятнаццаць хвілін. Я думаю пра гэта з ухмылкай і лёгкім неапраўданым шкадаваннем.
Мы вяртаемся да Keplera i geometrii. Судзячы па ўсім, Платон прадказаў існаванне пятай правільнай формы таму, што яму бракавала чагосьці які аб'ядноўвае, што ахоплівае ўвесь мір. Магчыма, менавіта таму ён даручыў вучню (Тэаджтэту) шукаць яе. Як было, так і было, на падставе чаго быў адкрыты дадэкаэдр. Мы называем гэта стаўленне Платона пантэізмам. Усе навукоўцы, аж да Ньютана, у большай ці меншай ступені паддаліся яму. Пачынаючы з вельмі рацыянальнага васямнаццатага стагоддзя, яго ўплыў радыкальна зменшыўся, хаця не варта саромецца таго, што ўсе мы ў той ці іншай меры паддаемся яму.
У кеплераўскай канцэпцыі пабудовы Сонечнай сістэмы ўсё было правільна, эксперыментальныя дадзеныя супадалі з тэорыяй, тэорыя была лагічна стройная, вельмі прыгожая… але зусім ілжывая. У яго час было вядома ўсяго шэсць планет: Меркурый, Венера, Зямля, Марс, Юпітэр і Сатурн. Чаму планет усяго шэсць? - спытаў Кеплер. І якая заканамернасць вызначае іх адлегласць ад Сонца? Ён меркаваў, што ўсё звязана, што геаметрыя і касмагонія цесна звязаны адзін з адным. Са твораў старажытных грэкаў ён ведаў, што правільных шматграннікаў усяго пяць. Ён убачыў, што паміж шасцю арбітамі было пяць пустэч. Дык можа быць, кожнаму з гэтых вольных прастор адпавядае нейкі правільны шматграннік?
Пасля некалькіх гадоў назіранняў і тэарэтычных прац ён стварыў наступную тэорыю, з дапамогай якой даволі дакладна разлічыў памеры арбіт, якую прадставіў у кнізе "Mysterium Cosmographicum", выдадзенай у 1596 г.: Уявіце сабе гіганцкую сферу, дыяметр якой дыяметр арбіты Меркурыя ў яго гадавым руху вакол Сонца. Затым уявіце, што на гэтай сферы ёсць правільны актаэдр, на ёй сфера, на ёй ікасаэдр, на ёй зноў сфера, на ёй дадэкаэдр, на ёй яшчэ адна сфера, на ёй тэтраэдр, затым зноў сфера, куб і, нарэшце, на гэтым кубе апісаны шар.
Кеплер прыйшоў да высновы, што дыяметры гэтых паслядоўных сфер з'яўляюцца дыяметрамі арбіт іншых планет: Меркурыя, Венеры, Зямлі, Марса, Юпітэра і Сатурна. Тэорыя падалася вельмі дакладнай. Нажаль - гэта супала з эксперыментальнымі дадзенымі. А што можа быць лепшым сведчаннем правільнасці матэматычнай тэорыі, чым яе адпаведнасць эксперыментальным дадзеным ці дадзеным назіранняў, асабліва "ўзятых з нябёсаў"? Я сумую гэтыя разлікі ў Табліцы 2. Дык што ж зрабіў Кеплер? Спрабаваў, спрабаваў, пакуль не адбылося, гэта значыць калі канфігурацыя (парадак сфер) і атрыманыя разлікі супадалі з дадзенымі назіранняў. Вось сучасныя лічбы Кеплера і разлікі:
Можна паддацца зачараванню тэорыі і паверыць, што недакладныя вымярэнні ў небе, а не рахункі, зробленыя ў цішыні майстэрні. На жаль, сёння мы ведаем, што існуе па меншай меры дзевяць планет і што ўсе супадзенні вынікаў - толькі супадзенне. Жаль. Гэта было так прыгожа…
