Як добра, што яно дзеліцца на 2

Час ад часу я стаўлю латку сваім калегам-фізікам, кажучы, што фізіка сама па сабе занадта складаная для іх. Сучасная фізіка стала больш матэматычнай на 90 працэнтаў, калі не на 100 працэнтаў. Настаўнікам фізікі ўласціва скардзіцца, што яны не могуць добра выкладаць, бо ў іх няма ў школе адпаведнага матэматычнага апарата. Але я думаю, што часцей за ўсё… проста вучыць не могуць, таму гавораць, што павінны мець адпаведныя паняцці і матэматычныя прыёмы, асабліва дыферэнцыяльнае падлік. Гэта праўда, што толькі пасля матэмізацыі пытання мы можам цалкам зразумець яго. Слова "вылічыць" мае агульную тэму са словам "твар". Паказаць свой твар = быць вылічаным.

Мы сядзелі з калегам, польскім філолагам і сацыёлагам Анджэем, ля цудоўнага возера Мауда, Сувалкі. Ліпень сёлета быў халодным. Ужо не памятаю, навошта расказваў вядомы анекдот пра матацыкліста, які не справіўся з кіраваннем, урэзаўся ў дрэва, але выжыў. У машыне хуткай ён трызніў, як добра, што хоць на дваіх падзяліўся . Доктар разбудзіў яго і спытаў, што адбываецца, што дзяліць ці не дзяліць на два. Адказ быў: mv².

Анджэй доўга смяяўся, але потым нясмела спытаў, пра што мв2. я растлумачыў гэта E = mv²/2 гэта формула для кінэтычная энергіязусім відавочна, калі вы ведаеце інтэгральнае падлік, але не разумееце яго. Праз некалькі дзён ён папрасіў тлумачэння ў лісце, каб ён дайшоў да яго, польскага настаўніка. На ўсякі выпадак я сказаў, што ў Расіі няма царскіх дарог (так сказаў Арыстоцель свайму царскаму вучню Аляксандру Македонскаму). Усім ім даводзіцца пакутаваць аднолькава. О, гэта праўда? Бо дасведчаны горны гід правядзе кліента па самым простым шляху.

mv² для чайнікаў

Андрэй. Я быў бы незадаволены, калі б наступны тэкст падаўся вам занадта цяжкім. Мая задача: растлумачыць табе, пра што гэты кліп². У прыватнасці, чаму квадрат і чаму мы дзелім на два.

Вы бачыце: mv - гэта імпульс, а энергія - гэта інтэграл імпульсу. Просты?

Каб фізік вам адказаў. А я... Але на ўсялякі выпадак, у якасці прадмовы, напамін пра былыя часы. Нас гэтаму вучылі ў пачатковых класах (сярэдняга яшчэ не было).

Дзве велічыні прама прапарцыйныя, калі пры павелічэнні ці памяншэнні адной павялічваецца ці памяншаецца іншая, заўсёды ў адной і той жа прапорцыі.

Напрыклад:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

І 5 10 15 20 25 30 35 40 45

У гэтым выпадку Y заўсёды ў пяць разоў больш, чым X. Мы кажам, што каэфіцыент прапарцыйнасці роўна 5. Формула, якая апісвае гэтыя адносіны, мае выгляд y = 5x. Мы можам намаляваць графік прамой лініі y = 5x (1). Графік прапарцыйнасці прамой уяўляе сабой раўнамерна ўзыходзячую прамую. Роўным прырашчэння адной зменнай адпавядаюць роўныя прырашчэнні іншай. Такім чынам, больш матэматычная назва такой сувязі: лінейная залежнасць. Але мы не збіраемся яго выкарыстоўваць.

1. Графік функцыі y = 5x (іншыя маштабы па восях)

Звернемся зараз да энергіі. Што такое энергія? Пагодзімся, што гэта нейкая прыхаваная сіла. "У мяне няма сіл на ўборку" - гэта амаль тое ж самае, што "У мяне няма сіл на ўборку". Энергія - гэта прыхаваная сіла, якая дрэмле ў нас і нават у рэчах, і яе добра ўтаймаваць, каб яна служыла нам, а не выклікала разбурэння. Мы атрымліваем энергію, напрыклад, зараджаны акумулятары.

Як вымераць энергію? Гэта проста: мера працы, якую ён можа зрабіць для нас. У якіх адзінках мы вымяраем энергію? Гэтак жа, як праца. Але для мэт гэтага артыкула мы будзем вымяраць яго ў… метрах. Як так ?! Пабачым.

Прадмет, падвешаны на вышыні h над гарызонтам, мае патэнцыйная энергія. Гэтая энергія вызваліцца, калі мы перарэжам нітку, на якой вісіць цела. Затым ён упадзе і праробіць нейкую працу, нават калі ён проста праробіць дзірку ў зямлі. Калі наш аб'ект ляціць, ён валодае кінэтычнай энергіяй, энергіяй самога рухі.

Мы лёгка можам пагадзіцца з тым, што патэнцыйная энергія прапарцыйная вышыні h. Перанос грузу на вышыню 2 гадзіны стаміць нас у два разы больш, чым пад'ём на вышыню h. Калі ліфт даставіць нас на пятнаццаты паверх, ён будзе спажываць у тры разы больш столькі электрычнасці, колькі на пятым… (напісаўшы гэтую прапанову, я зразумеў, што гэта няпраўда, таму што ліфт, акрамя людзей, нясе яшчэ і ўласную вагу, і немалы - для эканоміі прыкладу, у вас замяніць ліфт, напрыклад, будаўнічым кранам). Тое ж самае ставіцца і да прапарцыйнасці патэнцыйнай энергіі да масы цела. Для перавозкі 20 тон на вышыню 10 м патрабуецца ў два разы больш электраэнергіі, чым для 10 тон на 10 м. Гэта можна выказаць формулай E~mh, дзе тыльда (г.зн. знак ~) - знак прапарцыйнасці. Падвоеная маса і падвоеная вышыня ўраўноўваюцца чатырохразовай патэнцыйнай энергіі.

Наданне целу патэнцыйнай энергіі шляхам уздыму на пэўную вышыню не мела б месца, калі б не сіла цяжару. Менавіта дзякуючы ёй усе целы падаюць на зямлю (на Зямлю). Гэтая сіла працуе так, што целы атрымліваюць пастаяннае паскарэнне. Што азначае «пастаяннае паскарэнне»? Гэта азначае, што падальнае цела няўхільна і няўхільна павялічвае сваю хуткасць сапраўды гэтак жа, як аўтамабіль чапаецца з месца. Ён рухаецца ўсё хутчэй і хутчэй, але паскараецца са сталай хуткасцю. Мы хутка ўбачым гэта на прыкладзе.

Нагадаю, што мы абазначаем паскарэнне свабоднага падзення праз g. Гэта каля 10 м/с². Зноў жа, у вас можа ўзнікнуць пытанне: што гэта за дзіўная адзінка - квадрат секунды? Аднак трэба разумець інакш: кожную секунду скорасць падаючага цела павялічваецца на 10 м у секунду. Калі ў нейкі момант ён рухаецца са хуткасцю 25 м/сек, то праз секунду мае хуткасць 35 (м/сек). Таксама зразумела, што тут мы маем на ўвазе цела, якое не надта занепакоенае супраціўленнем паветра.

Цяпер нам трэба вырашыць арыфметычную задачу. Разгледзім толькі што апісанае цела, якое ў адзін момант мае скорасць 25 м/сек, а праз секунду 35. Якая адлегласць яна пройдзе за гэту секунду? Праблема ў тым, што хуткасць пераменная і для карэктных разлікаў патрэбен інтэграл. Аднак яно пацвердзіць тое, што мы адчуваем інтуітыўна: вынік будзе такім жа, як і для цела, якое рухаецца раўнамерна з сярэдняй скорасцю: (25 + 35)/2 = 30 м/сек. - і, такім чынам, 30 м.

Давайце на імгненне перамесцімся на іншую планету, з іншым паскарэннем, напрыклад, 2g. Зразумела, што там мы набіраем патэнцыйную энергію ў два разы хутчэй - паднімаючы цела на вышыню ў два разы ніжэй. Такім чынам, энергія прапарцыйная паскарэнню на планеце. У якасці мадэлі возьмем паскарэнне вольнага падзення. І таму мы не ведаем цывілізацыі, якая жыве на планеце з іншай сілай прыцягнення. Гэта прыводзіць нас да формулы патэнцыйнай энергіі: E = gmch.

Цяпер перарэжам нітку, на якой мы падвешвалі камень масай m на вышыні h. Камень падае. Калі ён упадзе на зямлю, ён выканае сваю працу - гэта інжынернае пытанне, як выкарыстоўваць яго для нашай карысці.

Намалюем графік: цела масай m падае ўніз (тым, хто папракае мяне ў фразе, што яно не можа зваліцца ўверх, адкажу, што яны маюць рацыю, і таму я напісаў, што яно было ўніз!). Адбудзецца канфлікт маркіровак: літара m будзе азначаць і метры, і масу. Але мы разбярэмся, што калі. Цяпер давайце паглядзім на графік ніжэй і пракаментуем яго.

Некаторыя падумаюць: гэта проста хітрыя трукі з нумарацыяй. Але праверым: калі цела ўзляціць са хуткасцю 50 км/ч, яно дасягне вышыні 125 м – гэта значыць у кропцы, дзе яно спыніцца на бясконца кароткі момант, яно будзе мець патэнцыйную энергію 1250 м, а гэта таксама мв²/ 2. Калі б мы запускалі цела на 40 км/г, то яно ляцела б на 80 м, зноў жа мв²/ 2. Цяпер мы, напэўна, не сумняваемся, што гэта не супадзенне. Мы выявілі адзін з Законы руху Ньютана! Трэба было толькі паставіць разумовы эксперымент (ой, прабачце, спачатку вызначыць паскарэнне вольнага падзення g – па легендзе гэта зрабіў Галілей, скідаючы прадметы з вежы ў Пізе, ужо тады крывой) і галоўнае: мець лікавую інтуіцыю. Верце, што добры Гасподзь Бог стварыў свет, прытрымліваючыся законаў (якія ён, магчыма, прыдумаў сам). Магчыма, ён падумаў сам сабе: «О, я выдам законы, каб яны дзяліліся на два». Гэта з паловай, большасць фізічных канстант настолькі неверагодна дзіўныя, што можна западозрыць Стваральніка ў пачуцці гумару. Гэта адносіцца і да матэматыкі, але не пра яе сёння.

Каля дзясятка гадоў таму ў Татрах альпіністы заклікалі на дапамогу адну са сцен Марскога Вока. Быў люты, холад, кароткі дзень, дрэннае надвор'е. Ратавальнікі дабраліся да іх толькі апоўдні наступнага дня. Альпіністы ўжо змерзлі, галодныя, без сіл. Выратавальнік уручыў першаму з іх тэрмас з гарачай гарбатай. "З цукрам?" - спытаў альпініст ледзь чутным голасам. "Так, з цукрам, вітамінамі і ўзмацняльнікам кровазвароту". "Дзякуй, я з цукрам не п'ю!" - адказаў альпініст і страціў прытомнасць. Верагодна, падобнае, якое адпавядае пачуццё гумару выяўляў і наш матацыкліст. Але жарт быў бы глыбейшы, калі б ён уздыхнуў, скажам так: «ах, калі б не гэты квадрат!».

Для таго, што гаворыць формула, суадносіны E = mv²/ 2? Што выклікае "квадрат"? У чым асаблівасць "квадратных" адносін? Што, напрыклад, падваенне прычыны выклікае чатырохразовае павелічэнне следства; трохразова - дзевяціразова, чацвярычна - шаснаццаціразова. Энергія, якую мы маем пры руху на 20 км/г, у чатыры разы ніжэйшая, чым на 40, і ў шаснаццаць разоў меншая, чым на 80! Ды і наогул, уявіце сабе наступствы сутыкнення на хуткасці 20 км/г. з наступствамі сутыкнення на хуткасці 80 км/г Без якіх-небудзь шаблонаў вы можаце бачыць, што ён нашмат, нашмат больш. Суадносіны эфектаў павялічваецца прама ў адносінах да хуткасці, і дзяленне на два крыху змякчае гэта.

* * *

Святы ўжо ззаду. Я пішу артыкулы ўжо некалькі год. Цяпер… у мяне няма сілы. Прыйшлося б напісаць аб рэформе адукацыі, у якой таксама ёсць добрыя бакі, але рашэнне прымалі на непрадметнай аснове людзі, прыдатныя для таго, што я для балета (у мяне значная лішняя вага і мне за 70 гадоў).

Зрэшты, як бы па абавязку службы, спашлюся на яшчэ адну праяву элементарнага невуцтва сярод журналістаў. Па агульным прызнанні, нішто не параўнаецца з журналістам з Ольштына, які прысвяціў вялікі артыкул пытанню падману спажыўцоў вытворцамі. Ну, пісаў журналіст, на пачку сметанковага масла была пазначана тлустасць у працэнтах, але не патлумачана, на кілаграм ці на цэлы куб…

Недакладнасць, напісаная журналістам А.Б. (выдуманыя ініцыялы) у Tygodnik Powszechny ад 30 ліпеня г.г., больш тонкая. Ён заявіў, што, паводле даследавання CBOS, 48% людзей, якія лічаць сябе вельмі рэлігійнымі, прымаюць пэўныя адносіны X (усё роўна, у чым справа, гэта не мае значэння), а 41% тых, хто ўдзельнічае ў рэлігійных практыкуе некалькі разоў на тыдзень падтрымку X. Гэта азначае, піша аўтар, што больш за два пятыя найбольш актыўныя каталікі не прызнаюць X. Я доўга спрабаваў высветліць, адкуль у аўтара гэтыя дзве пятыя, і… не разумею. Фармальнай памылкі няма, бо сапраўды, матэматычна кажучы, больш за два пятыя рэспандэнты супраць X. Проста можна сказаць, што больш за палову (100 – 48 = 52).