Лем, Такарчук, Кракаў, матэматыка

3-7 верасня 2019 г. у Кракаве адбыўся юбілейны кангрэс Польскага матэматычнага таварыства. Юбілейны, таму што да стагоддзя з дня заснавання Таварыства. Яна існавала ў Галіцыі з 1-х гадоў (без прыметніка, што польска-лібералізм імператара FJ1919 меў свае межы), але як агульнанацыянальная арганізацыя дзейнічала толькі з 1919 года. Буйныя поспехі польскай матэматыкі адносяцца да 1939-х гадоў XNUMX-XNUMX гг. XNUMX г. ва Універсітэце Яна Казіміра ў Львове, але з'езд там не мог адбыцца - ды гэта і не лепшая ідэя.

Сустрэча была вельмі святочнай, поўнай спадарожных мерапрыемстваў (уключаючы выступ Яцэка Вуйчыцкага ў замку ў Непаламіцах). З асноўнымі лекцыямі выступілі 28 спікераў. Яны былі на польскай мове, таму што запрошаныя госці былі палякамі - не абавязкова ў сэнсе грамадзянства, але прызнаючы сябе палякамі. Ах так, толькі трынаццаць лектараў прыехалі з польскіх навуковых устаноў, астатнія пятнаццаць - з ЗША (7), Францыі (4), Англіі (2), Германіі (1) і Канады (1). Што ж, гэта добра вядомая з'ява ў футбольных лігах.

Лепшыя стала выступаюць за мяжой. Крыху сумна, але ж свабода ёсць свабода. Некалькі польскіх матэматыкаў зрабілі недасяжную ў Польшчы кар'еру за акіянам. Грошы тут граюць другарадную ролю, але я не хачу пісаць на падобныя тэмы. Можа быць, усяго два каментары.

У Расіі, а да гэтага ў Савецкім Саюзе гэта было і ёсць на самым свядомым узроўні… і неяк ніхто не хоча туды эміграваць. У сваю чаргу, у Нямеччыне на пасаду прафесара ў любым універсітэце прэтэндуе каля дзясятка кандыдатаў (калегі з Канстанцскага ўніверсітэта распавялі, што за год у іх было 120 заяў, 50 з якіх вельмі добрыя, а 20 выдатныя).

Нямногія з лекцый юбілейнага кангрэса можна рэзюмаваць у нашым штомесячніку. Звычайнаму чытачу нічога не скажуць такія загалоўкі, як «Мяжы разрэджаных графаў і іх прыкладанні» або «Лінейная структура і геаметрыя падпрастора і фактарпрастор для нармалізаваных прастор вялікай памернасці». Другую тэму прадставіў мой сябар з першых курсаў, Ніколь Томчак.

Некалькі гадоў таму яна была намініравана за дасягненне, прадстаўленае на гэтай лекцыі. Медаль Філдса - эквівалент для матэматыкаў. Пакуль толькі адна жанчына атрымала гэтую ўзнагароду. Таксама варта адзначыць лекцыю Ганна Марціняк-Чохра (Гейдэльбергскі ўніверсітэт) «Роля механістычных матэматычных мадэляў у медыцыне на прыкладзе мадэлявання лейкеміі».

паступіў у медыцыну. У Варшаўскім універсітэце гурт пад кіраўніцтвам праф. Ежы Цюрын.

Назва лекцыі будзе незразумелая Чытачам Веслава Низиол (z prestiżowej Вышэйшая педагагічная школа) “-адычная тэорыя Ходжа“. Тым не менш, менавіта гэтую лекцыю я вырашыў абмеркаваць тут.

Геаметрыя -адычных светаў

Справа пачынаецца з простых дробязяў і. Вы памятаеце, Чытач, метад пісьмовага абмену? Вызначана. Успомніце бесклапотныя гады пачатковай школы. Падзелім 125051 на 23 (гэта дзеянне злева). А ці ведаеце вы, што ён можа быць іншым (дзеянне справа)?

Гэты новы метад цікавы. Ідзем з канца. Нам трэба падзяліць 125051 на 23. На што трэба памножыць 23, каб апошняя лічба была 1? Шукаем у памяці і маем :=7. Апошняя лічба выніку 7. Памнажаем, аднімаем, атрымліваем 489. Як трэба памножыць 23, каб у выніку атрымалася 9? Вядома, на 3. Даходзім да таго, што вызначаем усе лічбы выніку. Мы знаходзім яго непрактычным і больш складаным, чым наш звычайны метад - але гэта пытанне практыкі!

Іншы зварот справа прымае, калі храбрац не падзяляецца на дзельнік цалкам. Давайце правядзём дзяленне і паглядзім, што атрымаецца.

Злева - звычайны школьны шлях. Справа «нашы дзіўныя».

Мы можам праверыць абодва вынікі множаннем. Першае мы разумеем: адна трэць ліку 4675 складае адну 8225, а тры ў перыядзе. Другі не мае сэнсу: што гэта за лік, перад якім бясконцая колькасць шасцёрак, а затым XNUMX?

Пакінем на імгненне пытанне аб сэнсе. Давайце гуляць. Такім чынам, давайце падзелім 1 на 3, а затым 1 на 7, што складае адну траціну і адну сёмую. Мы лёгка атрымаем:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Гэты апошні радок азначае: блок 285714 бясконца паўтараецца ў пачатку, і, нарэшце, іх тры. Хто не верыць, вось праверка:

Цяпер дадамо дробу:

Затым складаем атрыманыя дзіўныя лікі, і мы атрымліваем (праверым) такі ж дзіўны лік.

......95238095238095238095238010

Мы можам праверыць, што гэта роўна

Сутнасць яшчэ трэба ўбачыць, але арыфметыка дакладная.

Яшчэ адзін прыклад.

Звычайнае, хоць і вялікае, лік 40081787109376 мае цікавую ўласцівасць: яго квадрат таксама сканчаецца на 40081787109376. Калі не верыце, хай праверыць і… шукае наступнае злева, г.зн. лік x40081787109376, які (х40081787109376)² таксама заканчваецца на x40081787109376.

Наканечнік. У нас ёсць 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, таму наступная лічба з'яўляецца дадаткам ад трох да дзесяці, гэта значыць 7. Давайце праверым: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Пытанне, чаму гэта так, складаная задача. Гэта прасцей: знайсці падобныя канчаткі лікаў, якія сканчаюцца на 5. Працягваючы працэс знаходжання наступных лічбаў да бясконцасці, мы прыйдзем да такіх «лікаў», што ²=²= (і ніводнае з гэтых лікаў не роўна нулю або адзінцы).

мы добра разумеем. Чым далей пасля коскі, тым менш важнай з'яўляецца лічба. У інжынерных разліках важная першая лічба пасля коскі, а таксама другая, але ў многіх выпадках можна лічыць, што стаўленне даўжыні акружнасці да яе дыяметра роўна 3,14. Вядома, у авіяцыйную галіну трэба ўключыць больш лічбаў, але я не думаю, што іх будзе больш за дзесяць.

Імя з'явілася ў назве артыкула Станіслаў Лем (1921-2006), а таксама наш новы лаўрэат Нобелеўскай прэміі. Лэдзі Вольга Такарчук Я згадаў пра гэта толькі таму, што крыклівая несправядлівасцьСправа ў тым, што Станіслаў Лем не атрымаў Нобелеўскай прэміі па літаратуры. Але гэта не ў нашым куце.

Лем часта прадбачыў будучыню. Ён задавалася пытаннем, што адбудзецца, калі яны стануць незалежнымі ад людзей. Колькі фільмаў на гэтую тэму зьявілася за апошні час! Лем даволі дакладна прадказаў і апісаў аптычны рыдэр і фармакалогію будучыні.

Ён ведаў матэматыку, хоць часам ставіўся да яе як да ўпрыгожвання, не клапоцячыся аб правільнасці разлікаў. Напрыклад, у аповядзе "Выпрабаванне" пілот "Піркс" выходзіць на арбіту B68 з перыядам кручэння 4 гадзіны 29 хвілін, а інструкцыя - 4 гадзіны 26 хвілін. Ён памятае, што яны разлічылі з хібнасцю 0,3 працэнта. Ён аддае дадзеныя Калькулятару, а калькулятар адказвае, што ўсё нармальна… Ну не. Тры дзесятыя працэнты ад 266 хвілін менш за хвіліну. Але хіба гэтая памылка нешта мяняе? Можа, гэта было спецыяльна?

Чаму я пішу пра гэта? Многія матэматыкі таксама ўздымалі гэтае пытанне: уявіце сабе супольнасць. У іх няма нашага чалавечага розуму. Для нас 1609,12134 і 1609,23245 - вельмі блізкія лікі - добрыя набліжэнні да ангельскай мілі. Аднак кампутары могуць лічыць лікі 468146123456123456 і 9999999123456123456 блізкімі. Яны маюць аднолькавыя дванаццацізначныя канчаткі.

Чым больш агульных лічбаў у канцы, тым бліжэй лікі. І гэта прыводзіць да так званай адлегласці -адычны. Няхай на імгненне р будзе роўна 10; чаму проста "на час", растлумачу…цяпер. 10-кропкавая адлегласць лікаў, напісаных вышэй, роўна 

або адна мільённая - таму што гэтыя лікі маюць шэсць агульных лічбаў у канцы. Усе цэлыя лікі адрозніваюцца ад нуля на адзінку ці менш. Я нават не буду пісаць шаблон, таму што гэта не мае значэння. Чым больш аднолькавых лічбаў у канцы, тым бліжэй лікі (для чалавека, наадварот, лічацца пачатковыя лікі). Важна, каб p было простым лікам.

Затым - ім падабаюцца нулі і адзінкі, таму яны бачаць усё ў гэтых шаблонах: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

У рамане "Глос пана" Станіслаў Лем наймае навукоўцаў, якія спрабуюць прачытаць паведамленне, адпраўленае з замагільнага жыцця, вядома, з кодам нуль-адзінка. Нам хто піша? Лем сцвярджае, што «любое паведамленне можна прачытаць, калі гэтае паведамленне пра тое, што хтосьці хацеў нам нешта сказаць». Але ці гэта так? Я пакіну чытачоў з гэтай дылемай.

Мы жывем у трохмернай прасторы R³. Ліст R нагадвае, што восі складаюцца з сапраўдных лікаў, т. е. цэлых лікаў, адмоўных і дадатных, нуля, рацыянальных (т. е. дробаў) і ірацыянальных, з якімі чытачы пазнаёміліся ў школе (), і лікаў, вядомых як трансцэндэнтныя лікі, недаступныя ў алгебры (гэты лік π, больш за дзве тысячы гадоў злучае дыяметр круга з яго акружнасцю).

Што, калі б на восях нашай прасторы стаялі -адычныя лікі?

Ежы Міадушкаўскі, матэматык з Сілезскага ўніверсітэта, сцвярджае, што гэта магло быць так, і нават што гэта можа быць так. Мы можам (кажа Ежы Міядушэўскі) займаць з такімі істотамі адно і тое ж месца ў прасторы, не замінаючы і не бачачы адзін аднаго.

Такім чынам, у нас ёсць уся геаметрыя "іх" свету для даследавання. Ці наўрад "яны" думаюць пра нас гэтак жа і таксама вывучаюць нашу геаметрыю, таму што наш - памежны выпадак усіх "іх" міроў. "Іх", гэта значыць усіх адічных светаў, дзе яны простыя лікі. У прыватнасці, = 2 і гэты захапляльны свет нуль-адзінка…

Тут чытач артыкула можа раззлавацца і нават раззлавацца. «Гэта тое глупства, якім займаюцца матэматыкі?» Яны фантазуюць, як п'юць гарэлку пасля абеду, прычым за мае грошы (= падаткаплацельшчыка). І разагнаць іх на чатыры вятры, хай ідуць у саўгасы… ах, няма больш саўгасаў!

Паслабляцца. у іх заўсёды была схільнасць да такіх жартаў. Дазвольце мне толькі згадаць тэарэму аб бутэрбродах: калі ў мяне ёсць бутэрброд з сырам і вяндлінай, я магу разрэзаць яго адным разрэзам, каб падзяліць напалову булку, вяндліну і сыр. Гэта бескарысна на практыцы. Справа ў тым, што гэта ўсяго толькі жартаўлівае ўжыванне цікавай агульнай тэарэмы з функцыянальнага аналізу.

Наколькі сур'ёзна мець справу з -адычнымі лікамі і звязанай з імі геаметрыяй? Нагадаю чытачу, што рацыянальныя лікі (спрошчана: дробы) шчыльна ляжаць на прамой, але не запаўняюць яе ўшчыльную.

У "дзірках" насяляюць ірацыянальныя лікі. Іх шмат, бясконца шмат, але можна таксама сказаць, што іх бясконцасць большая, чым у найпростых, у якіх мы лічым: адзін, два, тры, чатыры… і так да ∞. Гэта наша чалавечае запаўненне "дзірак". Мы атрымалі ў спадчыну гэтую ментальную структуру ад піфагарэйцы. 

Але для матэматыка цікава і важна тое, што нельга "запоўніць" гэтыя дзіркі ірацыянальнымі і p-адычнымі лікамі (для ўсіх простых p). Для тых чытачоў, якія гэта разумеюць (а гэта выкладалі ў кожнай сярэдняй школе трыццаць гадоў таму), сутнасць у тым, што кожная паслядоўнасць, якая задавальняе. стан Кашы, сыходзіцца.

Прастора, у якой гэта дакладна, называецца поўнай («нічога не выпушчана»). Я ўспомню лік 547721051611007740081787109376.

Паслядоўнасць 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 і гэтак далей збягаецца да некаторай мяжы, роўнай прыкладна 0,5477210516110077400 81787109376.

Аднак з пункту гледжання 10-адычнай адлегласці паслядоўнасць лікаў 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 і гэтак далей таксама збягаецца да «дзіўнага» ліку… 547721051 611007740081787109376

Але нават гэта можа быць недастатковым аргументам, каб даваць вучоным дзяржаўныя грошы. Увогуле, мы (матэматыкі) абараняемся, кажучы, што немагчыма прадказаць, для чаго будзе карыснае наша даследаванне. Амаль напэўна кожны будзе для нечага карысны і што толькі дзеянне на шырокім фронце мае шанцы на поспех.

Адно з найвялікшых вынаходстваў - рэнтгенаўскі апарат - было створана пасля таго, як радыеактыўнасць была выпадкова адкрыта. Бекерэль. Калі б не гэты выпадак, многія гады даследаванняў, верагодна, былі б бескарысныя. "Мы шукаем спосаб зрабіць рэнтгенаўскі здымак чалавечага цела".

Нарэшце, самае галоўнае. Усё згодны з тым, што роля гуляе ўменне вырашаць раўнанні. І тут нашыя дзіўныя нумары добра абараняюцца. Адпаведная тэарэма (Мінкоўскага ненавіджу) кажа, што некаторыя раўнанні могуць быць вырашаны ў рацыянальных ліках тады і толькі тады, калі яны маюць сапраўдныя карані і карані ў кожным -адычным целе.

Больш-менш такі падыход быў прадстаўлены Эндру Уайлз, якое вырашыла самае вядомае матэматычнае раўнанне апошніх трохсот гадоў - рэкамендую чытачам увесці яго ў пошукавік "Вялікая тэарэма Ферма".