На новы навучальны год
Большасць чытачоў былі дзесьці на адпачынку - няхай гэта будзе ў нашай цудоўнай краіне, у краінах блізкага замежжа, а можа быць, нават за акіянам. Давайце скарыстаемся гэтым, пакуль межы для нас адчыненыя… Які быў самы часты знак у нашых кароткіх і далёкіх вандраваннях? Гэта стрэлка, якая паказвае ў бок з'езда з аўтамагістралі, працягу горнай сцежкі, уваходу ў музей, уваходу на пляж і гэтак далей і да таго падобнае. Што ва ўсім гэтым цікавага? Матэматычна не вельмі. Але давайце падумаем: гэты знак відавочны для ўсіх... прадстаўнікоў цывілізацыі, у якой некалі стралялі з лука. Праўда, давесці гэта немагчыма. Мы не ведаем ніякай іншай цывілізацыі. Аднак матэматычна больш цікавы правільны пяцікутнік і яго зорчаты варыянт - пентаграма.
Нам не трэба мець ніякай адукацыі, каб знайсці гэтыя лічбы інтрыгуючымі і цікавымі. Калі, Чытач, ты піў пяцізоркавы каньяк у пяцізоркавым гатэлі на Плошчы Зорак у Парыжы, то, магчыма… ты нарадзіўся пад шчаслівай зоркай. Калі нехта папросіць нас намаляваць зорку, мы не задумваючыся намалюем пяціканцовую, а калі суразмоўца здзівіцца: «Гэта сімвал былога СССР!», мы можам адказаць: Стайні!».
Пентаграма, або пяціканцовая зорка, правільны пяцікутнік, асвоена ўсім чалавецтвам. Не менш за чвэрць краін, уключаючы ЗША і былы СССР, уключылі яго ў свае эмблемы. У дзяцінстве мы вучыліся маляваць пяціканцовую зорачку, не адрываючы алоўка ад старонкі. У сталым узросце яна становіцца нашай пуцяводнай зоркай, нязменнай, далёкай, сімвалам надзеі і лёсу, аракулам. Давайце паглядзім на гэта са боку.
Пра што нам гавораць зоркі?
Гісторыкі сыходзяцца ў меркаванні: да VII стагоддзі да нашай эры інтэлектуальная спадчына народаў Еўропы заставалася ў цені культур Вавілона, Егіпта і Фінікіі. І раптам шостае стагоддзе прыносіць адраджэнне і такое бурнае развіццё культуры і навукі, што некаторыя журналісты (напрыклад, Дэнікен) сцвярджаюць - цяжка сказаць, ці вераць яны самі ў гэта, - што гэта было б немагчыма без умяшання вязняў. з Космасу.
Калі справа даходзіць да Грэцыі, выпадак мае рацыянальнае тлумачэнне: у выніку міграцыі народаў жыхары Пелапанескага паўвострава больш даведаюцца аб культуры суседніх краін (напрыклад, фінікійскія літары пранікаюць у Грэцыю і ўдасканальваюць алфавіт), а самі пачынаюць каланізаваць Міжземнаморскі басейн. Гэта заўсёды вельмі спрыяльныя ўмовы для развіцця навукі: незалежнасць у спалучэнні з кантактамі са светам. Без незалежнасці мы асуджаем сябе на лёс бананавых рэспублік Цэнтральнай Амерыкі, без кантактаў - на Паўночную Карэю.
Лікі маюць значэнне
VI стагоддзе да нашай эры было асаблівым стагоддзем у гісторыі чалавецтва. Не ведаючы ці, магчыма, не чуючы адзін пра аднаго, трое вялікіх мысляроў вучылі: Буда, Канфуцый i Піфагор. Першыя дзве стварылі рэлігіі і філасофскія сістэмы, якія жывуць да гэтага часу. Ці абмежаваная роля трэцяга з іх адкрыццём той ці іншай уласцівасці пэўнага трыкутніка?
На мяжы VII і VI стагоддзяў (каля 624 – каля 546 да н. э.) у Мілеце ў сучаснай Малой Азіі жыў Такія. У адных крыніцах гаворыцца, што ён быў навукоўцам, у іншых - што ён быў багатым купцом, а трэція называюць яго прадпрымальнікам (відавочна, у адзін год ён купіў усе маслабойныя прэсы, а потым пазычыў іх за ліхвярскую плату). Некаторыя, паводле цяперашняй моды і ўзору занятку навукай, бачаць у ім, у сваю чаргу, апекуна: відаць, ён запрасіў мудрацоў, накарміў іх і пачаставаў, а потым сказаў: «ну, працуйце на славу мяне і ўсіх Навука”. Аднак многія сур'ёзныя крыніцы схіляюцца да сцвярджэння, што Фалеса, плоці і крыві, наогул не існавала, а яго імя толькі служыла ўвасабленнем канкрэтных ідэй. Як было, так было і мы, мусіць, ужо ніколі не пазнаем. Гісторык матэматыкі Э. Д. Сміт пісаў, што калі б не было Фалеса, не было б і Піфагора, і нікога падобнага Піфагору, а без Піфагора не было б ні Платона, ні такога, як Платон. Хутчэй за ўсё. Пакінем, аднак, убаку, што было б, каб.
Піфагор (ок. 572 — ок. 497 да н. э.) выкладаў у Кротоне на поўдні Італіі, і менавіта тамака зарадзіўся інтэлектуальны рух, названы ў гонар майстра: піфагарэйства. Гэта быў этыка-рэлігійны рух і аб'яднанне, заснаванае, як мы б назвалі гэта сёння, на таямніцах і таемных вучэннях, якое разглядала вывучэнне навукі як адзін са сродкаў ачышчэння душы. На працягу жыцця аднаго-двух пакаленняў піфагарэізм прайшоў звычайныя стадыі развіцця ідэй: першапачатковы рост і пашырэнне, крызіс і заняпад. Па-сапраўднаму вялікія ідэі не сканчаюць сваё жыццё на гэтым і ніколі не паміраюць назаўжды. Інтэлектуальнае вучэнне Піфагора (ён сам вынайшаў тэрмін, які сам сябе называў: філосаф, ці сябар мудрасці) і яго вучняў дамінавала ва ўсёй старажытнасці, затым вярнулася ў Адраджэнне (пад імем пантэізму), і мы насамрэч знаходзімся пад яго ўплывам. сёння. Прынцыпы піфагарэйства настолькі ўкараніліся ў культуры (прынамсі, еўрапейскай), што мы з цяжкасцю ўсведамляем, што маглі б думаць інакш. Мы зьдзіўлены ня менш за мальераўскага спадара Журдэна, які зьдзівіўся, даведаўшыся, што ўсё жыцьцё казаў прозай.
Асноўнай ідэяй піфагарэйства было перакананне, што свет уладкованы па строгім плане і гармоніі, і што пакліканне чалавека складаецца ў тым, каб спазнаць гэтую гармонію. І менавіта разважанне аб гармоніі свету складае вучэнне піфагарэізму. Піфагарэйцы, безумоўна, былі і містыкамі, і матэматыкамі, хоць толькі сёння іх лёгка так нядбайна класіфікаваць. Яны праклалі шлях. Яны пачалі свае даследаванні гармоніі свету, спачатку вывучаючы музыку, астраномію, арыфметыку і.
Хоць чалавецтва паддалося магіі "назаўжды", толькі піфагарэйская школа ўзвяла яе да агульнапрымяняльнага закона. «Колькі кіруюць светам» - гэты лозунг быў лепшай характарыстыкай школы. У лікаў была душа. Кожны нешта значыў, кожны нешта сімвалізаваў, кожны адлюстроўваў часцінку гэтай гармоніі Сусвету, г.зн. космас. Само слова азначае "парадак, парадак" (чытачы ведаюць, што касметыка разгладжвае твар і паляпшае прыгажосць).
Розныя крыніцы даюць розныя значэнні, якія піфагарэйцы надавалі кожнаму ліку. Так ці інакш, адна і тая ж колькасць магла сімвалізаваць некалькі паняццяў. Найбольш важнымі былі шэсць (дасканалы лік) я дзесяць – сума паслядоўных лікаў 1+2+3+4, складзеных з іншых лікаў, сімволіка якіх захавалася да нашых дзён.
Такім чынам, Піфагор вучыў, што лікі - гэта пачатак і крыніца ўсяго, што - калі выдумаць - яны "змешваюцца" адзін з адным, і мы бачым толькі вынікі таго, што яны робяць. Створаная, а дакладней развітая Піфагорам, містыка лікаў не мае сёння "добрага друку" і нават сур'ёзныя аўтары бачаць тут сумесь "пафасу і абсурду" або "навукі, містыкі і чыстай нацяжкі". Цяжка зразумець, як вядомы гісторык Аляксандр Краўчук мог напісаць, што Піфагор і яго вучні напаўнялі філасофію бачаннямі, міфамі, забабонамі - як быццам ён нічога не разумеў. Таму што гэта выглядае так толькі з пункта гледжання нашага XNUMX стагоддзі. Піфагарэйцы нічога не напружвалі, яны стваралі свае тэорыі зусім добрасумленна. Можа быць, праз некалькі стагоддзяў нехта напіша, што ўся тэорыя рэлятыўнасці таксама была абсурднай, пафаснай і нацягнутай. А лічбавая сімволіка, якая аддзяляла нас ад Піфагора на чвэрць мільёна гадоў, глыбока пракралася ў культуру і стала яе часткай, як і грэчаскія і германскія міфы, сярэднявечныя рыцарскія быліны, рускія народныя казкі пра Косца або бачанне Юліуша Славацкага Славянскі Папа.
Загадкавая ірацыянальнасць
У геаметрыі піфагарэйцы былі здзіўлены figurami podobnymi. І менавіта пры аналізе тэарэмы Фалеса, асноўнага закона аб правілах падабенства, адбылася катастрофа. Былі выяўлены несувымерныя сячэнні, а значыць, і ірацыянальныя лікі. Эпізоды, якія немагчыма вымераць якой-небудзь агульнай мерай. Лічбы, якія не з'яўляюцца прапорцыямі. І гэта было выяўлена ў адной з самых простых формаў: квадраце.
Сёння ў школьнай навуцы мы абыходзім гэты факт, амаль не заўважаючы яго. Дыяганаль квадрата роўна √2? Выдатна, колькі гэта можа быць роўна? Націскаем на калькулятары дзве кнопкі: 1,4142… Добра, мы ўжо ведаем, што такое квадратны корань з дзвюх. Які? Гэта ірацыянальна? Напэўна, гэта таму, што мы выкарыстоўваем такі дзіўны знак, але ж на самой справе гэта 1,4142. Бо калькулятар не хлусіць.
Калі чытач думае, што я перабольшваю, дык… вельмі добра. Судзячы па ўсім, у польскіх школах не так дрэнна, як, напрыклад, у брытанскіх, дзе ўся справа невымернасць недзе паміж казкамі.
У польскай мове слова "ірацыянальны" не так страшна, як яго аналаг у іншых еўрапейскіх мовах. Рацыянальныя лікі там рацыянальныя, rationnel, razional, г.д.
Разгледзім развагі аб тым, што √2 гэты ірацыянальны лік, гэта значыць гэта не любы дроб ад p/q, дзе p і q - цэлыя лікі. Кажучы сучаснай мовай, гэта выглядае так… Дапусцім, што √2 = p/q і што гэты дроб ужо нельга пакараціць. У прыватнасці, і p, і q няцотныя. Узьвядзем у квадрат: 2q2=p2. Лік p не можа быць няцотным, бо тады p2 таксама было б, а ў левай частцы роўнасці стаіць кратнае 2. Значыць, p цотна, г. зн. p = 2r, значыць, p2= 4 гады2. Скароцім раўнанне 2q2= 4 гады2. мы атрымліваем д2= 2 гады2 і мы бачым, што q таксама павінна быць цотным, а мы выказалі здагадку, што гэта не так. Атрымана супярэчнасць доказ заканчваецца - вы можаце знайсці гэтую формулу раз-пораз у кожнай матэматычнай кнізе. Гэты ўскосны доказ - упадабаны прыём сафістаў.
Падкрэслю, аднак, што гэта сучасная развага - такога развітога алгебраічнага апарата ў піфагарэйцаў не было. Яны шукалі агульную меру боку квадрата і яго дыяганалі, што навяло іх на думку, што такой агульнай меры быць не можа. Меркаванне аб яго існаванні прыводзіць да супярэчнасці. Цвёрдая зямля выслізгвала з-пад ног. Усё павінна ўмець апісвацца лікамі, а дыяганаль квадрата, якую любы можа правесці палачкай па пяску, не мае даўжыні (гэта значыць вымерна, таму што іншых лікаў няма). «Наша вера была марнай», - як бы кажуць піфагарэйцы. Што рабіць?
Прадпрымаліся спробы выратавацца сектанцкімі метадамі. Кожны, хто асмеліцца выявіць існаванне ірацыянальных лікаў, будзе адданы смерці, і, відаць, сам майстар - насуперак запаведзі лагоднасці - прыводзіць у выкананне першы прысуд. Тады ўсё становіцца заслонай. Па адной версіі піфагарэйцы забітыя (некалькі выратаваныя і дзякуючы ім уся ідэя не знесена ў магілу), па іншай - самі вучні, гэтак паслухмяныя, выганяюць любімага майстра і ён дзесьці сканчае сваё жыццё ў выгнанні. Секта спыняе сваё існаванне.
Усе мы ведаем выказванне Ўінстана Чэрчыля: "Ніколі ў гісторыі чалавечых канфліктаў так шмат людзей не былі так многім абавязаны гэтак нямногім". Гаворка ішла аб лётчыках, якія абаранялі Англію ад нямецкай авіяцыі ў 1940 году. Калі замяніць "чалавечыя канфлікты" на "чалавечыя думкі", то прымаўка дастасавальная да жменькі піфагарэйцаў, якія выратаваліся (так мала) ад пагрому ў канцы XNUMX-х гг. VI стагоддзе да Нараджэння Хрыстовага.
Так што "думка прайшла цэлай". Што далей? Надыходзіць залаты век. Грэкі перамагаюць персаў (Марафон - 490 г. да н. э., Плацяжы - 479 г.). Дэмакратыя ўмацоўваецца. Узнікаюць новыя цэнтры філасофскай думкі і новыя школы. Паслядоўнікі піфагарэйства сутыкаюцца з праблемай ірацыянальных лікаў. Некаторыя кажуць: «Мы не спасцігнем гэтай таямніцы; мы можам толькі сузіраць яго і захапляцца Uncharted». Апошнія больш прагматычныя і не паважаюць Тайну: «Калі нешта не так з гэтымі лічбамі, пакінем іх у спакоі, гадоў праз нейкія 2500 усё стане вядома. Можа, не лічбы кіруюць светам? Прыступім да геаметрыі. Важныя ўжо не лікі, а іх прапорцыі і суадносіны».
Прыхільнікі першага кірунку вядомыя гісторыкам матэматыкі як акустыка, Яны пражылі яшчэ некалькі стагоддзяў і ўсё. Апошнія назвалі сябе матэматыкі (ад грэцкага mathein = ведаць, вучыцца). Нам не трэба нікому тлумачыць, што менавіта такі падыход і перамог: ён пражыў XNUMX стагоддзяў і мае поспех.
Перамога матэматыкаў над аўзматыкай выявілася, у прыватнасці, у з'яўленні новага сімвала піфагарэйцаў: з гэтага часу гэта была пентаграма (pentás = пяць, gramma = літара, надпіс) - правільны пяцікутнік у форме зоркі. Яго галіны перасякаюцца надзвычай прапарцыйна: усё заўсёды ставіцца да большай часткі, а большая частка да меншай часткі. Ён называўся боская прапорцыя, затым секулярызаваны на золата. Старажытныя грэкі (а за імі і ўвесь еўрацэнтрычны свет) лічылі, што гэтая прапорцыя найболей прыемная чалавечаму воку, і сустракалі яе практычна ўсюды.
(Кіпрыян Каміль Норвід, «Праметыдыён»)
Скончу яшчэ адным урыўкам, на гэты раз з паэмы "Фаўст" (пераклад Уладзіслава Аўгуста Касцельскага). Ну а пентаграма – гэта яшчэ і выява пяці пачуццяў і знакамітай "ступні чарадзея". У паэме Гётэ доктар Фаўст хацеў абараніцца ад д'ябла, намаляваўшы гэты знак на парозе сваёй хаты. Ён зрабіў гэта нядбайна, і вось што атрымалася:
Фаўст
М эфістафелес
Фаўст
І гэта ўсё пра звычайны пяцікутнік у пачатку новага навучальнага года.
