Зваротнае зачараванне

Аб «любаты супрацьлегласцяў» шмат кажуць, і не толькі ў матэматыцы. Памятайце, што супрацьлеглыя лікі — гэта тыя, якія адрозніваюцца толькі знакам: плюс 7 і мінус 7. Сума супрацьлеглых лікаў роўна нулю. Але для нас (г.зн. матэматыкаў) цікавейшыя зваротныя лікі. Калі здабытак лікаў роўны 1, то гэтыя лікі адваротныя адзін аднаму. Кожны лік мае сваю супрацьлегласць, кожны ненулявы лік мае сваю адваротную. Зваротнае да зваротнага з'яўляецца пачатковым лікам.

Інверсія ўзнікае ўсюды, дзе дзве велічыні злучаны сябар з сябрам так, што калі адна павялічваецца, іншая памяншаецца з якая адпавядае хуткасцю. «Адпаведнае» азначае, што твор гэтых колькасцяў не мяняецца. Мы памятаем са школы: гэта адваротная прапарцыйнасць. Калі я хачу дабрацца да пункта прызначэння ў два разы хутчэй (гэта значыць скараціць час удвая), мне трэба падвоіць хуткасць. Калі паменшыць аб'ём запаянай пасудзіны з газам у n разоў, то яе ціск павялічыцца ў n разоў.

У пачатковай адукацыі мы старанна адрозніваем дыферэнцыяльнае і адноснае параўнанні. "На колькі больш"? – "У колькі разоў больш?"

Вось некаторыя школьныя мерапрыемствы:

Заданне 1. З двух станоўчых велічынь першая ў 5 разоў большая за другую і ў той жа час у 5 разоў большая за першую. Якія памеры?

Заданне 2. Калі адзін лік большы за другі на 3, а другі большы за трэці на 2, то наколькі першы лік большы за трэці? Калі першы дадатны лік у два разы большы за другі, а першы лік у тры разы большы за трэці, то ў колькі разоў першы лік большы за трэці?

Заданне 3. У заданні 2 дапушчальныя толькі натуральныя лікі. Ці магчыма такое размяшчэнне, як апісана там?

Заданне 4. З двух станоўчых велічынь першая ў 5 разоў большая за другую, а другая ў 5 разоў большая за першую. Ці з'яўляецца гэта магчымым?

Паняцце "сярэдні" ці "сярэдні" здаецца вельмі простым. Калі я праехаў на веласіпедзе 55 км у панядзелак, 45 км у аўторак і 80 км у сераду, у сярэднім я праязджаў на веласіпедзе 60 км у дзень. Мы безумоўна згодныя з гэтымі разлікамі, хоць яны крыху дзіўныя, таму што я не праязджаў 60 км ні за адзін дзень. Мы гэтак жа лёгка прымаем долі чалавека: калі на працягу шасці дзён рэстаран наведваюць дзвесце чалавек, то сярэднесутачная норма складае 33 з трэцюю чалавека. Хм!

Ёсць праблемы толькі з сярэднім памерам. Мне падабаецца велатурызм. Вось я і скарыстаўся прапановай турфірмы "Паехалі з намі" - яны дастаўляюць багаж да гасцініцы, куды кліент едзе на ровары ў рэкрэацыйных мэтах. У пятніцу я праехаў чатыры гадзіны: першыя дзве са хуткасцю 24 км за гадзіну. Потым я так стаміўся, што за наступныя два з хуткасцю ўсяго 16 за гадзіну. Якая ў мяне была сярэдняя скорасць? Вядома (24+16)/2=20км=20км/ч.

У суботу, аднак, багаж пакінулі ў гатэлі, і я паехаў глядзець руіны замка, што за 24 км, і, убачыўшы іх, вярнуўся. Ехаў гадзіну ў адзін бок, зваротна вяртаўся павольней, са хуткасцю 16 км у гадзіну. Якая была мая сярэдняя скорасць на маршруце «гатэль-замак-гатэль»? 20 км за гадзіну? Канечне не. Бо я праехаў у агульнай складанасці 48 км і на гэта ў мяне сышло гадзіну ("туды") і паўтары гадзіны назад. 48 км за дзве з паловай гадзіны, г.зн. гадзіна 48/2,5=192/10=19,2 км! У гэтай сітуацыі сярэдняя хуткасць ёсць не сярэдняе арыфметычнае, а гармоніка зададзеных велічынь:

і гэтую двухпавярховую формулу можна прачытаць так: сярэдняе гарманічнае дадатных лікаў ёсць велічыня, адваротная сярэдняму арыфметычнаму іх зваротнай велічыні. Адваротнае ад сумы адваротных фігуруе ў шматлікіх хорах школьных заданняў: калі адзін працоўны капае гадзін, іншы - b гадзін, то, працуючы разам, яны капаюць своечасова. басейн з вадой (адзін у гадзіну, іншы ў б гадзін). Калі ў аднаго рэзістара R1, а ў другога R2, то яны маюць паралельны супраціў. 

Калі адзін кампутар можа вырашыць задачу за секунды, іншы кампутар за b секунд, то пры іх сумеснай працы.

Спыняцца! На гэтым аналогія сканчаецца, бо ўсё залежыць ад хуткасці сеткі: эфектыўнасці злучэнняў. Рабочыя таксама могуць перашкаджаць ці дапамагаць адзін аднаму. Калі адзін чалавек можа вырыць студню за восем гадзін, ці змогуць восемдзесят працоўных зрабіць гэта за 1/10 гадзіны (ці за 6 хвілін)? Калі шэсць насільшчыкаў за 6 хвілін даставяць піяніна на першы паверх, колькі часу спатрэбіцца аднаму з іх, каб даставіць піяніна на шасцідзесяты паверх? Абсурднасць такіх задач прымушае ўспомніць аб абмежаванай дастасавальнасці ўсёй матэматыкі да задач "з жыцця".

Пра ўсяго прадаўца 

Шалі больш не выкарыстоўваюцца. Нагадаем, што на адну чару такіх шаляў клалі гіру, на іншую - які ўзважваецца тавар, і калі гіра знаходзілася ў раўнавазе, то і тавар важыў гэтулькі ж, колькі і гіра. Зразумела, абодва пляча вагавага грузу павінны быць аднолькавай даўжыні, інакш узважванне будзе няслушным.

Аб дакладна. Уявіце прадаўца, які мае вагу з няроўнымі плячыма. Аднак ён хоча быць сумленным з пакупнікамі і ўзважвае тавар дзвюма партыямі. Спачатку ён кладзе на адну патэльню вага, а на іншую адпаведную колькасць тавару - так, каб шалі былі ў раўнавазе. Затым ён узважвае другую «палову» тавара ў зваротным парадку, гэта значыць кладзе вага на другую чару, а тавар - на першую. Паколькі рукі няроўныя, "палавінкі" ніколі не бываюць роўнымі. І ў прадаўца сумленне чыстае, і пакупнікі хваляць яго сумленнасць: "што тут прыбраў, то потым дадаў".

Аднак давайце больш уважліва паглядзім на паводзіны прадаўца, які хоча быць сумленным, нягледзячы на ​​ненадзейную вагу. Няхай плечы шаляў маюць даўжыні а і Ь. Калі адна з чар нагружана кілаграмовай вагой, а другая - х тавараў, то шалі знаходзяцца ў раўнавазе, калі ах = Ь у першы раз і Ьх = а ў другі раз. Такім чынам, першая частка тавару роўная б/а кілаграма, другая частка – а/б. Добрая вага мае a = b, значыць пакупнік атрымае 2 кг тавару. Пабачым, што адбудзецца пры a ≠ b. Тады a – b ≠ 0 і са скарочанай формулы множання маем

Мы дашлі да нечаканага выніку: накшталт бы справядлівы метад «асераднення» вымярэнні ў дадзеным выпадку працуе на карысць пакупніку, які атрымлівае больш тавара.

заданне 5. (Важна, зусім не па матэматыцы!). Камар важыць 2,5 міліграма, а слон пяць тон (гэта цалкам дакладныя дадзеныя). Разлічыце сярэдняе арыфметычнае, геаметрычнае і гарманічнае масы (вагі) камара і слана. Праверце разлікі і паглядзіце, ці маюць яны які-небудзь сэнс апроч арыфметычных практыкаванняў. Разгледзім іншыя прыклады матэматычных вылічэнняў, якія не маюць сэнсу ў "рэальнай жыцця". Парада: мы ўжо разгледзелі адзін прыклад у гэтым артыкуле. Ці значыць гэта, што ананімны студэнт, чыё меркаванне я знайшоў у Інтэрнэце, меў рацыю: «Матэматыка дурыць людзей лікамі»?

Так, згодзен, што ў велічы матэматыкі можна "дурыць" людзей - у кожнай другой рэкламе шампуня напісана, што ён павялічвае пухнатасць на нейкі працэнт. Ці будзем мы шукаць іншыя прыклады карысных паўсядзённых інструментаў, якія можна выкарыстоўваць для злачыннай дзейнасці?

Грамы!

Назва гэтага ўрыўка з'яўляецца дзеясловам (першая асоба множнага ліку), а не назоўнікам (назоўны склон множнага ліку ад адной тысячнай кілаграма). Гармонія мяркуе парадак і музыку. Для старажытных грэкаў музыка была галіной навукі - трэба прызнаць, калі мы так гаворым, мы пераносім цяперашняе значэнне слова "навука" на час да нашай эры. Піфагор жыў у XNUMX стагоддзі да н.э.. Ён не толькі не ведаў кампутара, мабільнага тэлефона і электроннай пошты, але і не ведаў, хто такія Роберт Левандоўскі, Мяшко I, Карл Вялікі і Цыцэрон. Ён не ведаў ні арабскіх, ні нават рымскіх лічбаў (яны ўвайшлі ва ўжытак прыкладна ў V стагоддзі да нашай эры), ён не ведаў, што такое Пунічныя войны… Але ён ведаў музыку…

Ён ведаў, што на струнных інструментах каэфіцыенты ваганняў зваротна прапарцыйныя даўжыні якія вібруюць частак струн. Ён ведаў, ён ведаў, ён проста не мог выказаць гэта так, як мы гэта робім сёння.

Частоты двух ваганняў струны, якія складаюць актаву, знаходзяцца ў суадносінах 1:2, гэта значыць частата больш высокай ноты ў два разы вышэй частаты ніжэйшай. Правільныя суадносіны вібрацыі для квінты 2:3, кварты 3:4, чыстай мажорнай тэрцыі 4:5, мінорнай тэрцыі 5:6. Гэта прыемныя кансанансныя інтэрвалы. Затым ідуць два нейтральныя, з суадносінамі ваганняў 6:7 і 7:8, затым дысаніруючыя - вялікі тон (8:9), малы тон (9:10). Гэтыя дробы (адносіны) падобныя адносінам паслядоўных чальцоў паслядоўнасці, якую матэматыкі (менавіта па гэтай прычыне) завуць гарманічным побач:

- тэарэтычна бясконцая сума. Суадносіны ваганняў актавы можна запісаць як 2:4 і паставіць паміж імі квінту: 2:3:4, гэта значыць мы разаб'ем актаву на квінту і кварту. Гэта ў матэматыцы называецца гарманічным сегментным дзяленнем:

Мал. 1. Для музыканта: дзяленне актавы АВ на квінту АС.Для матэматыка: гарманічная сегментацыя

Што я маю на ўвазе, калі кажу (вышэй) пра тэарэтычна бясконцую суму, напрыклад пра гарманічны шэраг? Аказваецца, такой сумай можа быць любы вялікі лік, галоўнае, каб мы дастаткова доўга складалі. Інгрэдыентаў становіцца ўсё менш, але іх становіцца ўсё больш. Што пераважае? Тут мы ўступаем у вобласць матэматычнага аналізу. Атрымліваецца, што інгрэдыенты высільваюцца, але не вельмі хутка. Я пакажу, што, узяўшы дастаткова інгрэдыентаў, я магу скласці суму:

адвольна вялікі. Возьмем «для прыкладу» n = 1024. Давайце згрупуем словы, як паказана на малюнку:

У кожнай дужцы кожнае слова больш за папярэдняе, акрамя, вядома, апошняга, якое роўна самому сабе. У наступных дужках у нас ёсць 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 і 512 кампанентаў; значэнне сумы ў кожнай дужцы больш за ½. Усё гэта больш за 5½. Больш дакладныя разлікі паказалі б, што гэтая сума складае прыкладна 7,50918, XNUMX. Не моцна, але заўсёды, і вы можаце бачыць, што, узяўшы n любым вялікім, я магу перасягнуць любы лік. Гэты неверагодна павольны (напрыклад, мы перавышаем дзясятку толькі з інгрэдыентамі), але бясконцы рост заўсёды зачароўваў матэматыкаў.

Падарожжа ў бясконцасць з гарманічным побач

Вось загадка да даволі сур'ёзнай матэматыкі. У нас ёсць неабмежаваны запас прастакутных блокаў (ды што я кажу, прастакутных!) з памерамі, скажам, 4 × 2 × 1. Разгледзім сістэму, якая складаецца з некалькіх (на рыс. 2 - чатыры) блока, размешчаных так, што першы нахілены на ½ сваёй даўжыні, другі зверху на ¼ і гэтак далей, трэці на адну шостую. Ну, можа быць, каб зрабіць яго сапраўды устойлівым, давайце першую цэглу крыху менш нахіляем. Для разлікаў гэта не мае значэння.

Мал. 2. Вызначэнне цэнтра цяжкасці

Таксама лёгка зразумець, што паколькі постаць, складзеная з першых двух блокаў (лічачы зверху), мае цэнтр сіметрыі ў кропцы Ў, то Ў з'яўляецца цэнтрам цяжару. Вызначым па-геаметрычнаму цэнтр цяжару сістэмы, складзенай з трох верхніх блокаў. Тут дастаткова вельмі простай развагі. Падзелім у думках трохблочную кампазіцыю на дзве верхнія і трэцюю ніжнюю. Гэты цэнтр павінен ляжаць на перасеку, які злучае цэнтры цяжару дзвюх частак. У які момант гэтага эпізоду?

Ёсць два спосабы абазначэння. У першым скарыстаемся тым назіраннем, што гэты цэнтр павінен ляжаць у сярэдзіне трехблочной піраміды, т. е. на прамой, якая перасякае другі, сярэдні блок. У другім спосабе мы разумеем, што, паколькі два верхніх блока маюць агульную масу ў два разы больш, чым адзіночны блок № 3 (зверху), цэнтр цяжару на гэтым сячэнні павінен быць у два разы бліжэй да B, чым да цэнтр S трэцяга блока. Аналагічна знаходзім наступную кропку: злучаем знойдзены цэнтр трох блокаў з цэнтрам S чацвёртага блока. Цэнтр усёй сістэмы знаходзіцца на вышыні 2 і ў пункце, які дзеліць адрэзак на 1 да 3 (г. зн. на ¾ яго даўжыні).

Вылічэнні, якія мы правядзем крыху далей, прыводзяць да выніку, паказанага на мал. мал. 3. Паслядоўныя цэнтры цяжару выдалены ад правага краю ніжняга блока на:

Такім чынам, праекцыя цэнтра цяжкасці піраміды заўсёды знаходзіцца ў межах падставы. Вежа не перакуліцца. Цяпер давайце паглядзім на рыс. 3 і на імгненне давайце выкарыстоўваем пяты блок зверху ў якасці асновы (той, што адзначаны больш яркім колерам). Верхні нахілены:

такім чынам, яго левы бок на 1 далей правага краю падставы. Вось наступны ўзмах:

Якое самае вялікае ваганне? Мы ўжо ведаем! Няма найвялікшага! Узяўшы нават самыя маленькія блокі, можна атрымаць навісь у адзін кіламетр - на жаль, толькі матэматычна: усёй Зямлі не хапіла б, каб пабудаваць столькі блокаў!

Мал. 3. Дадаем яшчэ блокі

Цяпер разлікі, якія мы пакінулі вышэй. Мы будзем разлічваць усе адлегласці па гарызанталі па восі абсцыс, таму што гэта ўсё, пра што ідзе гаворка. Кропка А (цэнтр цяжару першага блока) знаходзіцца на 1/2 ад правага краю. Кропка B (цэнтр двухблокавай сістэмы) знаходзіцца на адлегласці 1/4 ад правага краю другога блока. Няхай кропкай адліку будзе канец другога блока (цяпер мы пяройдзем да трэцяга). Напрыклад, дзе знаходзіцца цэнтр цяжару адзінарнага блока №3? Палова даўжыні гэтага блока, такім чынам, ён выдалены ад нашага пункта адліку на 1/2 + 1/4 = 3/4. Дзе знаходзіцца кропка З? У двух трацінах адрэзка паміж 3/4 і 1/4, т. е. у кропцы да, змяняем кропку адліку на правы бок трэцяга блока. Цэнтр цяжару трохблочнай сістэмы зараз выдалены ад новай кропкі адліку і гэтак далей. Цэнтр цяжару С_n вежы, складзенай з n блокаў, выдаленая на 1/2n ад імгненнай кропкі адліку, якая з'яўляецца правым краем базавага блока, т. е. n-га блока зверху.

Паколькі шэраг зваротных велічынь разыходзіцца, мы можам атрымаць любую вялікую варыяцыю. Ці магло гэта быць рэалізавана насамрэч? Гэта як бясконцая цагляная вежа - рана ці позна яна абрынецца пад уласнай вагой. У нашай схеме мінімальныя недакладнасці ў размяшчэнні блокаў (і павольнае павелічэнне частковых сум шэрагу) азначаюць, што мы не рушым далёка.