Прэмія Абеля

Мала хто з чытачоў скажа што-небудзь пра імя Авель. Не, гаворка ідзе не пра няшчаснага юнака, забітага ўласным братам Каінам. Я маю на ўвазе нарвежскага матэматыка Нільса Хенрыка Абеля (1802–1829) і прэмію, названую ў яго гонар, якая толькі што была прысуджана (16 сакавіка 2016 г.) Нарвежскай акадэміяй навук і лісты сэру Эндру Дж. Уайлсу. Гэта кампенсуе матэматыкам тое, што яны апушчаны Альфрэдам Нобелем у рэйтынгу катэгорый найважнейшай сусветнай навуковай прэміі.

Хоць матэматыкі шануюць т.зв. Медаль Філдса (афіцыйна лічыцца вышэйшым лаўрам у сваёй вобласці), яго звязваюць усяго з 15 тысячамі. (не мільёны, тысячы!) канадскіх долараў, пакуль пераможца Узнагароды Абеля кладзе ў кішэню чэк на 6 мільёнаў нарвежскіх крон (каля 750 8 еўра). Нобелеўскія лаўрэаты атрымліваюць 865 мільёнаў шведскіх крон, ці каля XNUMX тысяч. еўра - менш, чым у тэнісістаў за перамогу ў вялікім турніры. Ёсць некалькі верагодных прычын, па якіх Альфрэд Нобель не ўключыў матэматыкаў у лік магчымых лаўрэатаў прэміі. Завяшчанне Нобеля тычылася "вынаходстваў і адкрыццяў", якія прыносяць найбольшую карысць чалавецтву, але, верагодна, не тэарэтычных, а практычных. Матэматыка не лічылася навукай, якая магла б прынесці практычную карысць чалавецтву.

Чаму Авель

Хто быў Нільс Хенрык Абель і што зрабіла яго знакамітым? Напэўна, ён быў геніем, таму што, хаця ён памёр ад сухотаў ва ўзросце ўсяго 27 гадоў, ён здолеў назаўжды пакінуць след у матэматыцы. Ну, ужо ў малодшай школе нас вучаць рашаць ураўненні; спачатку першай ступені, затым квадратныя і часам кубічныя. Ужо чатырыста гадоў таму італьянскія навукоўцы змаглі справіцца з... раўнанне чацвёртай ступенінават той, які выглядае нявінным:

і з якіх адзін з элементаў

Так, гэта маглі зрабіць навукоўцы ўжо ў XNUMX стагоддзі. Няцяжка здагадацца, што ўлічваліся раўнанні вышэйшых ступеняў. І нічога. За дзвесце гадоў нікому не ўдалося. Нільс Абель таксама пацярпеў няўдачу. І тут ён зразумеў, што… можа, гэта ўвогуле немагчыма. Гэта можна даказаць немагчымасць рашэння такога раўнання – а дакладней, выказваючы рашэнне простымі арыфметычнымі формуламі.

Гэта было першае з 2 тысяч. гадоў (!) разваг такога тыпу: нешта нельга даказаць, нешта нельга зрабіць. Манаполія на такія доказы належыць матэматыцы - практычныя навукі ўсё больш ламаюць бар'еры. У 1888 г. старшыня Патэнтнай камісіі ЗША заявіў, што «ў будучыні варта чакаць крыху вынаходстваў, таму што ўжо вынайдзена амаль усё». Сёння нам цяжка нават пасмяяцца з гэтага… А ў матэматыцы – аднойчы даказана, яно страчана. Гэта немагчыма зрабіць.

Гісторыя дзеліць адкрыццё, якое я апісаў, паміж Нільс Абель i Эварыста Галуа, абодва памерлі як «абраныя багамі» ва ўзросце да трыццаці гадоў, не ацэненыя іх сучаснікамі. Нільс Абель - адзін з нямногіх нарвежскіх матэматыкаў з шырокай вядомасцю (насамрэч двух, другі з якіх... Софус Лі, 1842-1899 - прозвішчы гучаць не па-скандынаўску, але абодва былі карэннымі нарвежцамі).

Нарвежцы не ў ладах са шведамі - на жаль, гэта распаўсюджана сярод суседніх народаў. Адным з матываў заснавання нарвежцамі Абелеўскай прэміі было жаданне паказаць сваім суайчыннікам Альфрэда Нобеля: ну калі ласка, мы не горшыя.

Пагоня за неіснуючым маржынальным уваходам

Вось вам і Нільс Хенрык Абель. Зараз пра лаўрэата прэміі, 63-гадовага ангельца (які жыве ў ЗША). Яго подзвіг у 1993 годзе можна было параўнаць толькі з узыходжаннем на Эверэст, узыходжаннем на Месяц ці нечым у гэтым родзе. Хто такі сэр Эндру Уайлз? Калі вы паглядзіце на спіс яго публікацый і розныя магчымыя індэксы цытавання, ён будзе добрым навукоўцам - іх тысячы. Тым не менш, ён лічыцца адным з найвялікшых матэматыкаў. Яго даследаванні адносяцца да тэорыі лікаў і выкарыстоўваюць адносіны з алгебраічная геаметрыя Цяпер тэорыя уяўленняў.

Ён праславіўся рашэннем абсалютна неістотнай з пункту гледжання матэматыкі задачы доказ Вялікай тэарэмы Ферма (хто не ведае пра што я - нагадваю ніжэй). Аднак сапраўдную каштоўнасць мела не само рашэнне, а стварэнне новага метаду даследавання, які выкарыстоўваўся для вырашэння многіх іншых важных задач.

Нельга не задумацца ў гэты момант пра важнасць тых ці іншых спраў, пра іерархію чалавечых дасягненняў. Сотні тысяч маладых людзей мараць штурхаць мяч лепш за іншых, дзесяткі тысяч хочуць падвергнуць сябе гімалайскім вятрам, скакаць з гумак на мосце, выдаваць гукі, якія яны называюць спевам, штурхаць іншым нездаровую ежу... ці вырашыць нікому не патрэбнае ўраўненне. . Першы заваёўнік гары Эверэст, сэр Эдвард Хілары, адказаў прама на пытанне, навошта ён туды ўвайшоў: "Таму што ён ёсць, таму што Эверэст ёсць!" Аўтар гэтых слоў усё жыццё быў матэматыкам, гэта быў мой рэцэпт жыцця. Адзіны правільны! Але давайце скончым з гэтай філасофіяй. Вернемся на здаровы шлях матэматыкі. Навошта ўся гэтая мітусня вакол тэарэмы Ферма?

Я мяркую, мы ўсе ведаем, што яны з сябе ўяўляюць простыя лікі. Напэўна ўсё разумеюць фразу "раскласці на простыя множнікі", асабліва калі наш сынок ператварае гадзіны ў часткі.

П'ер дэ Ферма (1601-1665) быў юрыстам з Тулузы, але ён таксама аматар займаўся матэматыкай з даволі добрымі вынікамі, таму што ён увайшоў у гісторыю матэматыкі як аўтар шматлікіх тэарэм тэорыі лікаў і аналізу. Ён меў звычку размяшчаць свае нататкі і каментарыі на палях прачытаных кніг. І гэта так - каля 1660 г. ён напісаў на адным з паляў:

Вось вам і П'ер дэ Ферма. З яго часу (а нагадаю, што ў Францыі ў той час жыў адважны гасконскі дваранін д'Артаньян, а ў Польшчы Анджэй Кміціч змагаўся з Багуславам Радзівілам) сотні, а можа быць, нават тысячы вялікіх і малых матэматыкаў спрабавалі беспаспяхова рэканструяваць страчаныя развагі геніяльнага . Хоць сёння мы ўпэўненыя, што доказ Ферма не можа быць правільным, раздражняла тое, што простае пытанне аб тым, раўнанне хⁿ + uⁿ = dⁿ, n> 2 мае рашэнні ў натуральных ліках? можа быць так складана.

Многія матэматыкі, якія прыйшлі на працу 23 чэрвеня 1993 года, знайшлі ў сваёй электроннай пошце (якая была на той час новай, яшчэ цёплай выдумкай) лаканічнае паведамленне: «Чуткі з Брытаніі: Уайлз даказаў Ферма». На наступны дзень пра гэта таксама напісала штодзённая прэса, а апошняя з серыі лекцый Уайлза сабрала прэсу, тэлебачанне і фотажурналістаў - як на канферэнцыі вядомага футбаліста.

Той, хто чытаў «Сатану з сёмага класа» Карнэля Макушынскага, напэўна памятае, што рабіў пан Іва Гансоўскі, брат прафесара гісторыі, чыю сістэму апытання студэнтаў адкрыў Адась Цісоўскі. Іва Гансоўскі рашаў ураўненне Ферма, губляючы час, грошы і грэбуючы сваім домам:

Нарэшце спадар Іво зразумеў, што высокія рахункі не забяспечаць шчасця яго сям'і, і здаўся. Макушынскі не любіў навукі, але меў рацыю наконт пана Гансоўскага. Іва Гансоўскі зрабіў адну фундаментальную памылку. Ён не імкнуўся стаць спецыялістам у добрым сэнсе гэтага слова, проста паводзіў сябе на аматара. Эндру Уайлз - прафесіянал.

Цікавая гісторыя барацьбы з Вялікай тэарэмай Ферма. Відаць дастаткова проста, што іх дастаткова вырашыць для паказчыкаў ступені, якія з'яўляюцца простымі лікамі. Для n = 3 рашэнне было дадзена ў 1770 годзе. Леанард Эйлер, для n = 5 - Пітэр Густаў Лежен Дзірыхле (1828) і Адрыен Мары Лежандр у 1830 г., а пры n = 7 – Габрыэль Ламе у 1840 годзе. У XNUMX стагоддзі нямецкі матэматык прысвяціў большую частку сваёй энергіі праблеме Ферма Эрнст Эдуард Кумер (1810-1893 гг.). Нягледзячы на ​​тое, што ён не дасягнуў канчатковага поспеху, ён даказаў шмат прыватных выпадкаў і выявіў шмат важных уласцівасцяў простых лікаў. Большая частка сучаснай алгебры, тэарэтычнай арыфметыкі і алгебраічнай тэорыі лікаў абавязана сваім паходжаннем працам Кумера над тэарэмай Ферма.

Пры вырашэнні праблемы Ферма метадамі класічнай тэорыі лікаў яны былі разбіты на два розныя выпадкі складанасці: першы, калі мы мяркуем, што твор xyz узаемна просты з паказчыкам n, і другі, калі лік z роўна дзеліцца на паказчык ступені. У другім выпадку было вядома, што да n = 150 000 рашэнняў няма, а ў першым - да n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). Гэта азначала, што магчымы контрпрыклад у любым выпадку быў бы немагчымы: для яго атрымання запатрабаваліся б рахункі з мільярдаў лічбаў.

Вось вам і старая гісторыя. У пачатку 1988 года ў матэматычным свеце было вядома, што Ёіці Міяока даказаў некаторую няроўнасць, з якой вынікала наступнае: калі толькі паказчык ступені n дастаткова вялікі, то раўнанне Ферма загадзя не мае рашэнняў. У параўнанні з крыху больш раннім вынікам немца Герда Фалтынгса (1983) Вынік Міяока азначаў, што калі ёсць рашэнні, то іх (з пункту гледжання прапарцыйнасці) толькі канчатковы лік. Такім чынам, вырашэнне праблемы Ферма звялося да пераліку канца многіх выпадкаў. Нажаль, колькі іх было невядома: метады, выкарыстаныя Мияокой, не дазвалялі ацаніць, які лік ужо было "ў парадку".

Тут варта адзначыць, што на працягу многіх гадоў даследаванні тэарэмы Ферма вяліся не ў рамках чыстай тэорыі лікаў, а ў рамках алгебраічнай геаметрыі, матэматычнай дысцыпліны, вытворнай ад алгебры і якая з'яўляецца пашырэннем дэкартавай аналітычнай геаметрыі, а цяпер якая распаўсюджваецца амаль паўсюдна: ад асноў матэматыкі (тэорыя топасаў у логіцы), праз матэматычны аналіз (камамалагічныя метады, функцыянальныя пучкі), класічную геаметрыю, да тэарэтычнай фізіцы (вектарныя расслаенні, твістарныя прасторы, салітоны).

Калі ўшанаванні не маюць значэння

Таксама цяжка не сумаваць аб лёсе матэматыка, чый уклад у вырашэнне праблемы Ферма вельмі значны. Я кажу пра Аракіэля (Сурэн Юр'евіч Аракелаў, украінскі матэматык з армянскімі каранямі), які ў пачатку 80-х гадоў, калі вучыўся на чацвёртым курсе, стварыў т.зв. тэорыя скрыжаванняў на арыфметычных разнастайнасцях. Такія паверхні поўныя дзюр і незавершанасцяў, а выгібы на іх могуць як бы раптам знікнуць, а потым зноў з'явіцца. Тэорыя скрыжавання тлумачыць, як разлічыць ступені перасячэння такіх крывых. Гэта быў асноўны інструмент, які выкарыстоўваўся Фальтынгсам і Міяокай у працы над праблемай Ферма.

Аднойчы Аракелава запрасілі прадставіць свае вынікі на вялікім матэматычным кангрэсе. Аднак, паколькі ён крытыкаваў савецкую сістэму, яму было адмоўлена ў дазволе на выезд. Неўзабаве яго прызвалі ў войска. Ён дэманстратыўна прадэманстраваў, што ён супраць вайсковай службы ўвогуле з пацыфісцкіх меркаванняў. Як мне стала вядома з даволі сумнеўных крыніц, яго нібыта накіравалі ў закрытую псіхіятрычную бальніцу, дзе ён правёў каля года. Як вядома, відаць, у палітычных мэтах савецкія псіхіятры вылучалі адмысловы тып шызафрэніі (па-ангельску ад, што азначае «млявы», па-руску. вялацякучая шызафрэнія).

Цяжка сказаць на сто працэнтаў, як гэта было насамрэч, таму што мае крыніцы інфармацыі не вельмі надзейныя. Мяркуючы па ўсім, пасля выхаду са шпіталя Аракелаў некалькі месяцаў правёў у манастыры ў Загорску. Цяпер жыве ў Маскве з жонкай і трыма дзецьмі. Ён не займаецца матэматыкай. Эндру Уайлз поўны ўшанаванняў і грошай.

З пункту гледжання сытага еўрапейскага грамадства крок таксама незразумелы Рыгора Перэльмана, які ў 2002 годзе вырашыў самую вядомую тапалагічную праблему ХХ стагоддзя,”Гіпотэза ПуанарыА потым адхіліў усе магчымыя ўзнагароды. Спачатку згаданы ў пачатку Філдсаўскі медаль, які матэматыкі лічаць эквівалентам Нобелеўскай прэміі, а затым узнагарода ў адзін мільён долараў за вырашэнне адной з сямі найважнейшых матэматычных задач, якія засталіся ад дваццатага стагоддзя. "Іншыя былі лепшыя, мяне не хвалююць ушанаванні, таму што матэматыка - маё хобі, у мяне ёсць ежа і цыгарэты", - больш-менш сказаў ён здзіўленаму свету.

Поспех пасля больш чым 300 гадоў

Апошняя тэарэма Ферма, безумоўна, была самай вядомай і ўражлівай матэматычнай задачай. Ён быў адкрыты больш за трыста гадоў, ён сфармуляваны вельмі выразна і разборліва і тэарэтычна быў магчымы для нападу кім заўгодна, а ў эпоху шырокага распаўсюджвання кампутараў было адносна лёгка паспрабаваць пабіць чарговы рэкорд у ацэнка магчымых рашэнняў. У гісторыі матэматыкі гэтае пытанне праз сваю натхняльную ролю адыграла вельмі важную «культураўтваральную» ролю, спрыяючы стварэнню цэлых матэматычных дысцыплін. Гэта дзіўна, таму што сама задача адносна трывіяльная і інфармацыя аб адсутнасці каранёў ураўненні Ферма не ўнесла асаблівага ўкладу ў агульную скарбонку матэматычных ведаў.

У 1847 годзе Габрыэль Ламе (1795-1870) прачытаў лекцыю ў Французскай акадэміі навук, абвясціўшы аб рашэнні праблемы Ферма. Аднак тут жа была заўважана тонкая памылка разваг. Ён засноўваўся на несанкцыянаваным выкарыстанні тэарэмы адназначнага раскладання. Мы памятаем са школьнай лавы, што кожны лік мае адназначную разбіўку на простыя множнікі, напрыклад, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Лік 503 не мае дзельнікаў (акрамя 1 і самога 503), таму распаўсюджваць яго далей нельга.

Уласцівасцю ўнікальнасці размеркавання валодаюць цэлыя дадатныя лікі, але сярод іншых лікавых мностваў ім быць не абавязкова. Напрыклад, для нумароў сімвалаў

у нас 36 = 2²⋅2³ але таксама

Аналізуючы доказ Ламе, Кумер змог даказаць справядлівасць гіпотэзы Ферма для некаторых паказчыкаў колькасці р. Ён назваў іх правільнымі простымі лікамі. Гэта быў першы важны крок да поўнага доказу. Вакол тэарэмы Ферма вырас міф. "А можа быць, гэта яшчэ горш - можа быць, вы нават не можаце даказаць, што гэта магчыма ці немагчыма вырашыць?"

Але з 80-х усё адчувалі, што мэта блізкая. Памятаю, Берлінская сцяна яшчэ стаяла, а я ўжо слухаў лекцыі пра "хутка, праз імгненне". Што ж, нехта павінен быў быць першым. Эндру Ўайлз завяршыў сваю лекцыю ангельскай флегмай: «Я думаю, гэта даказвае Ферма», і спатрэбіўся некаторы час, перш чым перапоўненая аўдыторыя зразумела, што адбылося: над матэматычнай задачай 330-гадовай даўніны інтэнсіўна працавалі сотні матэматыкаў з самых палка і незлічоная колькасць аматараў, такіх як Іва Гансоўскі з раманаў Макушынскага. А Эндру Уайлсу выпаў гонар паціснуць руку Харальду V, каралю Нарвегіі. Магчыма, ён не звярнуў увагі на сціплую надбаўку да Абелеўскай прэміі, каля некалькіх соцень тысяч еўра — навошта яму столькі грошай?