Простыя мадэлі са складанымі паводзінамі, гэта значыць хаос

Кампутар - гэта інструмент, які ўсё часцей выкарыстоўваецца навукоўцамі для раскрыцця таямніц, старанна схаваных прыродай. Мадэляванне, нараўне з эксперыментам і тэорыяй, становіцца трэцім спосабам вывучэння свету.

Тры гады таму ў Сілезскім універсітэце мы пачалі праграму інтэграцыі камп'ютарных метадаў у адукацыю. У выніку было створана мноства надзвычай займальных дыдактычных матэрыялаў, якія дазваляюць лягчэй і глыбей вывучыць шматлікія тэмы. У якасці асноўнай прылады была абраная мова Python, якая разам з моцай даступных навуковых бібліятэк, верагодна, з'яўляецца лепшым рашэннем для «кампутарных эксперыментаў» з раўнаннямі, выявамі ці дадзенымі. Адной з самых цікавых рэалізацый паўнавартаснага працоўнага асяроддзя з'яўляецца Sage [2]. Уяўляе сабой адкрытую інтэграцыю сістэмы кампутарнай алгебры з мовай Python, а таксама дазваляе адразу пачаць гуляць, выкарыстоўваючы вэб-браўзэр і адзін з магчымых варыянтаў доступу праз хмарны сэрвіс [3] або адзіны вылічальны сервер, на якім інтэрактыўная версія гэтага артыкула заснавана на [4] .

Хаос у экалогіі

У 1-х гадах у Оксфардскім універсітэце аўстралійскі навуковец Роберт Мэй вывучаў тэарэтычныя аспекты дэмаграфічнай дынамікі. Ён падсумаваў сваю працу ў артыкуле, які з'явіўся ў часопісе Nature пад правакацыйнай назвай "Простыя матэматычныя мадэлі з вельмі складанай дынамікай" [XNUMX]. Праз гады гэты артыкул стаў адной з самых цытуемых прац па тэарэтычнай экалогіі. Што выклікала такую ​​цікавасць да гэтай працы?

Класічная задача папуляцыйнай дынамікі складаецца ў тым, каб разлічыць будучую папуляцыю вызначанага выгляду, ведаючы яе цяперашні стан. Матэматычна найпростымі ўяўляліся экасістэмы, у якіх жыццё аднаго пакаленні папуляцыі доўжыцца адзін сезон. Добрым прыкладам з'яўляецца папуляцыя казурак, якія перажываюць поўнае ператварэнне за адзін сезон, напрыклад матылькоў. Час натуральным чынам дзеліцца на дыскрэтныя периоды2, якія адпавядаюць жыццёвым цыклам насельніцтва. Такім чынам, раўнанні, якія апісваюць такую ​​экасістэму, натуральным чынам маюць т.зв. дыскрэтны час, г.зн. t = 1,2,3…. Роберт Мэй займаўся, у тым ліку, такой дынамікай. У сваіх развагах ён спрасціў экасістэму да аднаго віду, папуляцыя якога была квадратычнай функцыяй папуляцыі ў папярэднім годзе. Адкуль узялася гэтая мадэль?

Найпростым дыскрэтным раўнаннем, якія апісваюць эвалюцыю папуляцыі, з'яўляецца лінейная мадэль:

дзе Ni - колькасць у i-м сезоне, а Ni + 1 апісвае папуляцыю ў наступным сезоне. Лёгка бачыць, што такое раўнанне можа прывесці да трох сцэнароў. Пры а = 1 эвалюцыя не зменіць колькасці папуляцыі, а <1 вядзе да вымірання, а выпадак а> 1 азначае неабмежаваны рост папуляцыі. Гэта прывядзе да дысбалансу ў прыродзе. Паколькі ўсё ў прыродзе абмежавана, мае сэнс скарэктаваць гэтае раўнанне з улікам абмежаванай колькасці рэсурсаў. Уявіце, што шкоднікі з'ядаюць збожжа, якога кожны год роўна столькі ж. Калі казурак мала ў параўнанні з колькасцю ежы, якое яны могуць прайграць, яны могуць размножвацца з поўнай рэпрадуктыўнай сілай, матэматычна вызначанай канстантай а>1. Аднак па меры павелічэння колькасці шкоднікаў корму будзе бракаваць, а рэпрадуктыўная здольнасць зменшыцца. У крытычным выпадку можна ўявіць, што насякомых нараджаецца так шмат, што яны з'ядаюць усё збожжа, перш чым паспяваюць размнажацца, і папуляцыя гіне. Мадэль, якая ўлічвае гэты эфект абмежаванага доступу да ежы, упершыню была прапанавана Ферхюльстам ў 1838 г. У гэтай мадэлі хуткасць росту не сталая, а залежыць ад стану папуляцыі:

Сувязь паміж хуткасцю росту а і Ni павінна мець наступную ўласцівасць: калі папуляцыя павялічваецца, хуткасць росту павінна памяншацца, таму што доступ да ежы абцяжараны. Вядома, ёсць шмат функцый з гэтай уласцівасцю: гэта сыходныя функцыі. Ферхюльст прапанаваў наступную залежнасць:

дзе а> 0 і канстанта К> 0 характарызуюць харчовыя рэсурсы і называюць ёмістасцю асяроддзя. Як змяненне Да ўплывае на скорасць росту насельніцтва? Калі K павялічваецца, Ni/K памяншаецца. У сваю чаргу гэта прыводзіць да таго, што 1-Ni/K расце, значыць, расце. Гэта азначае, што тэмпы росту павялічваюцца, і насельніцтва расце хутчэй. Такім чынам, давайце зменім папярэднюю мадэль (1), мяркуючы, што хуткасць росту змяняецца, як у раўнанні (3). Тады мы атрымаем раўнанне

Гэтае раўнанне можна запісаць у выглядзе рэкурсіўнага раўнання

дзе xi = Ni / K і xi + 1 = Ni + 1 / K абазначаюць паўторна маштабаваныя колькасці насельніцтва ў часе i і ў часе i + 1. Раўнанне (5) называецца лагістычным раўнаннем.

Можа здацца, што з такой невялікай мадыфікацыяй нашу мадэль лёгка аналізаваць. Давайце праверым гэта. Разгледзім раўнанне (5) для параметра a = 0.5, пачынальна з пачатковай папуляцыі x0 = 0.45. Паслядоўныя значэнні папуляцыі можна атрымаць з дапамогай рэкурсіўнага ўраўнення (5):

x₁= сякера₀(1 стар₀)

x₂= сякера₁(1 стар₁)

x₃= сякера₂(1 стар₂)

Для палягчэння вылічэнняў у (6) мы можам выкарыстоўваць наступную праграму (яна напісана на Python і можа быць запушчана, у тым ліку, на платформе Sage. Мы рэкамендуем вам прачытаць кнігу http://icse.us.edu .pl/e-book . ), імітуючы нашу мадэль:

а = 0.5 х = 0.45 для i у дыяпазоне (10):      х = а*х*(1–х)      раздрукаваць х

Вылічаем паслядоўныя значэнні xi і заўважаем, што яны імкнуцца да нуля. Паэксперыментаваўшы з прыведзеным вышэй кодам, таксама лёгка ўбачыць, што гэта дакладна незалежна ад пачатковага значэння x0. Гэта азначае, што насельніцтва ўвесь час памірае.

На другім этапе аналізу мы павялічваем значэнне параметра a да любога значэння ў дыяпазоне ae (1,3). Атрымліваецца, што тады паслядоўнасць xi ідзе на некаторую колькасць x * > 0. Інтэрпрэтуючы гэта з пункту гледжання экалогіі, можна сказаць, што колькасць папуляцыі фіксуецца на пэўным узроўні, які не мяняецца ад сезону да сезону. Варта адзначыць, што значэнне x* не залежыць ад пачатковага стану x0. Гэта эфект імкнення экасістэмы да стабілізацыі - папуляцыя падладжвае свой памер пад магчымасць пракарміць сябе. Матэматычна кажуць, што сістэма імкнецца да ўстойлівай нерухомай кропкі, г.зн. якая задавальняе роўнасці x = f(x) (гэта азначае, што ў наступны момант стан такі ж, як і ў папярэдні момант). З дапамогай Sage мы можам візуалізаваць гэтую эвалюцыю графічна, пабудаваўшы графік залежнасці насельніцтва ад часу.

Такі стабілізацыйны эфект быў чаканы даследчыкамі, і лагістычнае раўнанне (5) не прыцягнула б асаблівай увагі, калі б не нечаканасць. Аказалася, што пры пэўных значэннях параметра мадэль (5) паводзіць сябе не прадказальнай выявай. Па-першае, існуюць перыядычныя і шматперыядычныя станы. Па-другое, з кожным часовым крокам папуляцыя змяняецца нераўнамерна, падобна выпадковаму руху. Па-трэцяе, існуе вялікая адчувальнасць да зыходных умоў: два амаль неадметных зыходных стану прыводзяць да зусім рознай эвалюцыі папуляцыі. Усе гэтыя рысы характэрны для паводзін, якія нагадваюць зусім выпадковы рух і званага дэтэрмініраваным хаосам.

Давайце даследуем гэтую ўласцівасць!

Для пачатку ўсталюем значэнне параметру a = 3.2 і паглядзім на эвалюцыю. Можа здацца дзіўным, што на гэты раз папуляцыя дасягае не аднаго значэння, а двух, якія адбываюцца паслядоўна кожны другі сезон. Аднак аказалася, што на гэтым праблемы не скончыліся. Пры a = 4 сістэма больш не прадказальная. Паглядзім на малюнак (2) ці самі згенеруем паслядоўнасць лікаў з дапамогай кампутара. Вынікі выглядаюць чыста выпадковымі і зусім рознымі для крыху розных стартавых папуляцый. Аднак уважлівы чытач павінен запярэчыць. Як сістэма, якая апісваецца дэтэрмінаваным ураўненнем1, нават вельмі простая, можа паводзіць сябе непрадказальна? Ну, можа.

Асаблівасцю гэтай сістэмы з'яўляецца яе выдатная адчувальнасць да пачатковых умоў. Досыць пачаць з двух пачатковых умоў, якія адрозніваюцца на адну мільённую, і ўсяго праз некалькі крокаў мы атрымаем зусім розныя значэнні папуляцыі. Праверым на кампутары:

а = 4.0

х = 0.123 у = 0.123 + 0.000001 PKC = [] для i у дыяпазоне (25): х = а*х*(1-х) u = a*u*(1-u) надрукаваць х, у

Вось простая мадэль дэтэрмінаваных эвалюцыі. Але гэты дэтэрмінізм зманлівы, гэта ўсяго толькі матэматычны дэтэрмінізм. З практычнага пункту гледжання сістэма паводзіць сябе непрадказальна, таму што мы ніколі не можам матэматычна дакладна задаць пачатковыя ўмовы. Насамрэч усё вызначаецца з вызначанай дакладнасцю: кожны вымяральны прыбор мае вызначаную дакладнасць і гэта можа выклікаць практычную непрадказальнасць у дэтэрмінаваных сістэмах, якія валодаюць уласцівасцю хаосу. Прыкладам могуць служыць мадэлі прагнозу надвор'я, якія заўсёды дэманструюць уласцівасць хаосу. Вось чаму доўгатэрміновыя прагнозы надвор'я так дрэнныя.

Аналіз хаатычных сістэм надзвычай складаны. Аднак мы можам даволі лёгка расчыніць шматлікія таямніцы хаосу з дапамогай кампутарнага мадэлявання. Намалюем так званую біфуркацыйную дыяграму, на якой па восі абсцыс размесцім значэнні параметра а, а па восі ардынат - устойлівыя нерухомыя кропкі лагістычнага адлюстравання. Мы атрымліваем стабільныя кропкі, мадэлюючы адначасова вялікую колькасць сістэм і малюючы значэнні пасля шматлікіх крокаў разліку. Як вы маглі здагадацца, для гэтага патрабуецца шмат вылічэнняў. Паспрабуем "акуратна" апрацаваць наступныя значэнні:

імпартаваць numpy як np Nx = 300 Пры = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.нулі ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.нулі((Nx,Na)) для i у дыяпазоне (100): х = а * х * (1-х) pt = [[a_,x_] для a_,x_ у zip(a.flatten(),x.flatten())] кропка (pt, памер = 1, figsize = (7,5))

У нас мусіць атрымацца нешта падобнае на малюнак (3). Як інтэрпрэтаваць гэты малюнак? Напрыклад, пры значэнні параметра а = 3.3 маем 2 устойлівыя нерухомыя кропкі (колькасць папуляцыі аднолькавая кожны другі сезон). Аднак для параметра а = 3.5 маем 4 пастаянныя кропкі (кожны чацвёрты сезон папуляцыя мае аднолькавую колькасць), а для параметра а = 3.56 маем 8 пастаянных кропак (кожны восьмы сезон папуляцыя мае аднолькавую колькасць). Але для параметру a≈3.57 у нас ёсць бясконца шмат фіксаваных кропак (памер папуляцыі ніколі не паўтараецца і змяняецца непрадказальным чынам). Аднак, маючы кампутарную праграму, мы можам змяніць вобласць дзеяння параметра а і сваімі рукамі даследаваць бясконцую геаметрычную структуру гэтай дыяграмы.

Гэта толькі вяршыня айсберга. Аб гэтым ураўненні напісаны тысячы навуковых работ, але яно да гэтага часу хавае свае сакрэты. З дапамогай кампутарнага мадэлявання вы зможаце, нават не звяртаючыся да вышэйшай матэматыкі, пагуляць у першаадкрывальніка свету нелінейнай дынамікі. Мы запрашаем вас прачытаць анлайн-версію, якая змяшчае падрабязнасці пра шматлікія цікавыя ўласцівасці лагістычнага раўнання і цікавыя спосабы іх візуалізацыі.

¹ Дэтэрмінаваны закон - гэта закон, у якім будучыня адназначна вызначаецца пачатковым станам. Антанімам з'яўляецца імавернасны закон. ² У матэматыцы "дыскрэтны" азначае атрыманне значэнняў з пэўнага злічальнага мноства. Процілеглае "бесперапыннае".