Пяць разоў у вока
У канцы 2020 года ў ВНУ і школах было праведзена некалькі мерапрыемстваў, перанесеных з... сакавіка. Адным з іх было "святкаванне" дня колькасці пі. З гэтай нагоды 8 снежня я прачытаў выдаленую лекцыю ў Сілезскім універсітэце, і гэты артыкул уяўляе сабой рэзюмэ лекцыі. Уся вечарынка пачалася ў 9.42, а мая лекцыя прызначаная на 10.28. Адкуль такая дакладнасць? Усё проста: 3 памножыць на пі - гэта прыкладна 9,42, а π у 2-й ступені - прыкладна 9,88, а гадзіну 9 у 88-й ступені - гэта 10 у 28-й…
Звычай шанаваць гэты лік, якая выказвае стаўленне даўжыні акружнасці да яе дыяметра і часам званая сталай Архімеда (а таксама ў нямецкамоўных культурах), паходзіць з ЗША (глядзіце таксама: ). 3.14 сакавіка "па-амерыканску" ў 22:22, адсюль і ідэя. Польскі эквівалент можа быць 7 ліпеня, таму што дроб 14/XNUMX добра апраксімуе π, што ўжо ведаў… Архімед. Што ж, XNUMX сакавіка - лепшы час для спадарожных мерапрыемстваў.
Гэтыя тры і чатырнаццаць сотых - адно з нямногіх матэматычных пасланняў, якія засталіся нам са школы на ўсё жыццё. Усе ведаюць, што гэта значыцьпяць разоў у вока“. Яно настолькі ўкаранілася ў мове, што яго цяжка выказаць па-іншаму і гэтак жа хупава. Калі я спытаў у аўтамайстэрні, колькі можа каштаваць рамонт, механік задумаўся і сказаў: пяць разоў каля васьмісот злотых. Я вырашыў скарыстацца сытуацыяй. "Вы маеце на ўвазе грубае набліжэнне?". Механік, напэўна, падумаў, што я не пачуў, таму паўтарыў: "Я дакладна не ведаю, колькі, але пяць разоў на вока будзе 800".
.
Пра што гэта? У правапісе да Другой сусветнай вайны "не" выкарыстоўвалася разам, і я пакінуў яго там. Мы не маем тут справы з залішне высакапарнай паэзіяй, хоць мне падабаецца думка, што "залаты карабель пампуе шчасце". Спытайце навучэнцаў: што азначае гэтая думка? Але каштоўнасць гэтага тэксту ў іншым. Колькасць літар у наступных словах - гэта лічбы пашырэння пі. Давайце паглядзім:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX
У 1596 годзе галандскі вучоны нямецкага паходжання Людольф ван Цойлен вылічыў значэнне колькасці пі з дакладнасцю да 35 знакаў пасля коскі. Потым гэтыя фігуры былі выгравіраваны на яго магіле. Яна прысвяціла верш колькасці пі і нашаму нобелеўскаму лаўрэату, Віслава Шымборска. Шымборскі была зачараваная неперыядычнасцю гэтага ліку і тым, што з верагоднасцю 1 там будзе сустракацца кожная паслядоўнасць лічбаў, напрыклад наш нумар тэлефона. У той час як першая ўласцівасць уласціва кожнаму ірацыянальнаму ліку (якое мы павінны памятаць яшчэ са школы), другое - цікавы матэматычны факт, які цяжка даказаць. Вы нават можаце знайсці прыкладанні, якія прапануюць: дайце мне свой нумар тэлефона, і я скажу вам, дзе ён знаходзіцца ў пі.
Дзе акругласць, там і сон. Калі ў нас ёсць круглае возера, то шпацыр вакол яго ў 1,57 разы даўжэй, чым уплаў. Вядома, гэта не значыць, што мы будзем плыць у паўтара-два разы больш павольна, чым пройдзем. Я падзяліў сусветны рэкорд па плаванні на 100 метраў з сусветным рэкордам на 100 метраў. Цікава, што ў мужчын і ў жанчын рэзультат практычна аднолькавы і складае 4,9. Мы плаваем у 5 разоў павольней, чым бяжым. Веславанне зусім іншая - а вось цікавая задача. Там дастаткова доўгі сюжэт.
Ратуючыся ад праследуючага Злыдня, прыгожы і высакародны Добры адплыў да возера. Злыдзень бяжыць уздоўж берага і чакае, калі яна прымусіць яго прызямліцца. Вядома, ён бегае хутчэй, чым Добры грабе, а пры роўным бегу Добры хутчэй. Так што адзіны шанец для Зла - дастаць Дабро ў берага - дакладны стрэл з рэвальвера не варыянт, т.к. у Дабро ёсць каштоўная інфармацыя, якую хоча ведаць Зло.
Гуд прытрымліваецца наступнай стратэгіі. Ён плыве па возеры, паступова набліжаючыся да берага, але стараючыся заўсёды быць на супрацьлеглым баку ад Злога, які хаатычна бегае то ўлева, то ўправа. Гэта паказана на малюнку. Няхай пачатковая пазіцыя Зла будзе Z1, а Добра - сярэдзіна возера. Калі Zly перамяшчаецца ў Z1, Дабро даплыве да Д.1калі Bad знаходзіцца ў Z2, Добра на D2. Яно будзе цячы зігзагападобна, але з захаваннем правіла: як мага далей ад Z. Аднак па меры выдалення ад цэнтра возера Дабро павінна рухацца ўсё вялікімі і вялікімі кругамі і ў нейкі момант ён не можа ўтрымацца прынцып "быць па тым боку Зла". Тады ён з усяе сілы гроб да берага, спадзеючыся, што Хітры не абміне возера. Ці атрымаецца Дабру?
Адказ залежыць ад таго, наколькі хутка Добры можа веславаць у адносінах да кошту ног Дрэннага. Выкажам здагадку, што Дрэнны чалавек бяжыць са хуткасцю, у з разоў якая перавышае хуткасць Добрага на возеры. Такім чынам, самае вялікае кола, па якім Дабро можа веславаць, каб супрацьстаяць Злу, мае радыус, у раз меншы, чым радыус возера. Такім чынам, на чарцяжы мы маем. У кропцы W наш Добры пачынае веславаць да берага. Гэта павінна ісці
з хуткасцю
Яму патрэбны час.
Злы ганяецца за ўсімі сваімі найлепшымі нагамі. Ён павінен прайсці палову круга, на што ў яго сыдуць секунды ці хвіліны, у залежнасці ад абраных адзінак. Калі гэта больш, чым шчаслівы канец:
Добры сыйдзе. Простыя рахункі паказваюць, што гэта павінна быць. Калі Дрэнны чалавек бяжыць хутчэй, чым у 4,14 разы хутчэй, чым Добры, гэта дрэнна канчаецца. І тут таксама ўмешваецца наш лік пі.
Тое, што круглае, прыгожа. Давайце паглядзім на фота трох дэкаратыўных талерак - яны ў мяне пасля бацькоў. Якая плошча крывалінейнага трохвугольніка паміж імі? Гэта простая задача; адказ на той жа фатаграфіі. Нас не здзіўляе, што яно з'яўляецца ў формуле - дзе ж круглявасць, там і пі.
Я выкарыстаў магчыма незнаёмае слова:. Так называецца колькасць пі ў нямецкамоўнай культуры, і ўсё гэта дзякуючы галандцам (фактычна немец, які жыў у Нідэрландах - нацыянальнасць у той час не мела значэння), Лудольф з Сеулены. У 1596 г. ён вылічыў 35 лічбаў яго раскладання да дзесятковай. Гэты рэкорд пратрымаўся да 1853 г., калі Уільям Рэзерфорд налічыў 440 месцаў. Рэкардсменам па ручных разліках з'яўляецца (напэўна назаўжды) Уільям Шэнкс, які пасля многіх гадоў працы апублікаваў (у 1873 г.) пашырэнне да 702 лічбаў. Толькі ў 1946 годзе апошнія 180 лічбаў былі прызнаны няслушнымі, аднак так і засталося. 527 правільна. Было цікава знайсці сам баг. Неўзабаве пасля публікацыі выніку Шанкса западозрылі, што "нешта не так" - сямёрак у распрацоўцы падазрона мала. Яшчэ недаказаная (снежань 2020 г.) гіпотэза абвяшчае, што ўсе лічбы павінны з'яўляцца з аднолькавай частатой. Гэта заахвоціла Д. Т. Фергюсана перагледзець разлікі Шэнкса і знайсці памылку «вучня»!
Пазней людзям дапамаглі калькулятары і камп'ютары. Бягучы (снежань 2020 г.) рэкардсмен - Цімаці Малікан (50 трыльёнаў дзесятковых знакаў). Разлікі занялі... 303 дні. Пагуляем: колькі месца заняла б гэтая лічба, надрукаваная ў стандартнай кніжцы. Да нядаўняга часу друкаваны «бок» тэксту складаў 1800 знакаў (30 радкоў па 60 радкоў). Давайце скароцім колькасць знакаў і палі старонкі, упіхнем 5000 сімвалаў на старонку і надрукуем кнігі па 50 старонак. Такім чынам, XNUMX трыльёнаў сімвалаў занялі б дзесяць мільёнаў кніг. Нядрэнна, праўда?
Пытанне ў тым, у чым сэнс такой барацьбы? З чыста эканамічнага пункту гледжання, чаму падаткаплацельшчык павінен плаціць за такія "забавы" матэматыкаў? Адказ не складаны. Першы, з Сеулена вынайшаў нарыхтоўкі для разлікаў, Затым карысна для лагарыфмічных вылічэнняў. Калі б яму сказалі: калі ласка, будуйце нарыхтоўкі, ён бы адказаў: навошта? Аналагічна каманда:. Як вядома, гэтае адкрыццё было не зусім выпадковым, а ўсё ж пабочным прадуктам даследаванняў іншага тыпу.
Па-другое, давайце прачытаем, што ён піша Цімаці Малікан. Вось рэпрадукцыя пачала яго творчасць. Прафесар Малікан займаецца кібербяспекай, а лікі пі - гэта такое дробнае хобі, на якім ён проста тэставаў сваю новую сістэму кібербяспекі.
А што 3,14159 у інжынерыі хоць адбаўляй, гэта іншая справа. Правядзем просты разлік. Юпітэр выдалены ад Сонца на 4,774 Тм (тэраметр = 1012 метраў). Каб вылічыць даўжыню акружнасці такога круга з такім радыусам з абсурднай дакладнасцю ў 1 міліметр, дастаткова было б узяць π = 3,1415926535897932.
На наступным фота паказана чвэрць круга з цаглінак Lego. Я выкарыстаў калодкі 1774, і гэта было лік пі прыкладна 3,08. Ня лепшы, але чаго чакаць? Кола нельга скласці з квадратаў.
Дакладна. Лік π вядомы тым, што квадрат круга - матэматычная задача, якая чакала свайго рашэння больш за 2000 гадоў - з грэчаскіх часоў. Ці можна з дапамогай цыркуля і лінейкі пабудаваць квадрат, плошча якога роўна плошчы дадзенага круга?
Тэрмін «квадрат круга» пракраўся і ў гутарковую мову як сімвал чагосьці немагчымага. Я націскаю клавішу, каб спытаць, гэта нешта накшталт спробы запоўніць траншэю варожасці, якая падзяляе грамадзян нашай цудоўнай краіны? Але я ўжо пазбягаю гэтай тэмы, таму што мусіць толькі ў матэматыцы адчуваю.
І зноў тое ж самае – рашэнне задачы аб квадратуры круга з'явілася не такім чынам, каб аўтар рашэння, Чарльз Ліндэман, у 1882 годзе ён быў настроены і, нарэшце, атрымаў поспех. У нейкай ступені так, але гэта быў вынік нападу з шырокага фронта. Матэматыкі даведаліся, што лікі бываюць розных відаў. Не толькі цэлыя лікі, рацыянальныя (гэта значыць дробы) і ірацыянальныя. Невымернасць таксама можа быць лепш і горш. Мы, магчыма, памятаем са школы, што ірацыянальным лікам з'яўляецца √2 - лік, якое выказвае стаўленне даўжыні дыяганалі квадрата да даўжыні яго боку. Як і любы ірацыянальны лік, ён мае нявызначанае пашырэнне. Нагадаю, што перыядычнае разлажэнне - гэта ўласцівасць рацыянальных лікаў, г.зн. прыватных цэлых лікаў:
Тут бясконца паўтараецца паслядоўнасць лікаў 142857. Для √2 гэтага не адбудзецца - гэта частка ірацыянальнасці. Але вы можаце:
(фракцыя працягваецца вечна). Мы бачым тут заканамернасць, але іншага кшталту. Пі нават не такое звычайнае. Яго нельга атрымаць, вырашаючы алгебраічнае раўнанне - гэта значыць такое, у якім няма ні кораня квадратнага, ні лагарыфма, ні трыганаметрычных функцый. Гэта ўжо паказвае, што яно неканструюемае - маляванне кругоў прыводзіць да квадратычных функцый, а ліній - прамых - да раўнанняў першай ступені.
Магчыма, я адхіліўся ад асноўнага сюжэту. Толькі развіццё ўсёй матэматыкі дазволіла вярнуцца да вытокаў - да старажытнай выдатнай матэматыкі мысляроў, якія стварылі для нас еўрапейскую культуру думкі, гэтак сумнеўную сёння некаторымі.
З мноства рэпрэзентатыўных патэрнаў я абраў два. Першы з іх мы звязваем з прозвішчам Готфрыда Вільгельма Лейбніца (1646-1716).
Але ён быў вядомы (мадэль, а не Лейбніц) сярэднявечнаму індуісцкаму навукоўцу Мадхаве з Сангамаграмы (1350-1425). Перадача інфармацыі ў той час была невялікая - інтэрнэт-злучэнні часта глюкалі, а акумулятараў для мабільных тэлефонаў не было (таму што электроніку яшчэ не вынайшлі!). Формула прыгожая, але бескарысная для разлікаў. Са ста інгрэдыентаў атрымліваецца "ўсяго" 3,15159.
ён крыху лепш Формула Віет (той, што з квадратных раўнанняў), і яго формулу лёгка запраграмаваць, таму што наступны член у творы - гэта квадратны корань з папярэдняга плюс два.
Мы ведаем, што круг круглы. Можна сказаць, што гэта 100-працэнтны раунд. Матэматык спытае: ці можа нешта быць не на 1 працэнт круглым? Відаць, гэта аксюмарон, фраза, якая змяшчае ўтоеную супярэчнасць, такое як, напрыклад, гарачы лёд. Але паспрабуем вымераць, наколькі круглымі могуць быць постаці. Аказваецца, добрая мера даецца наступнай формулай, у якой S - плошча, а L - даўжыня акружнасці фігуры. Высветлім, што круг сапраўды круглы, што сігма роўная 6. Плошча круга - гэта даўжыня акружнасці. Устаўляемы… і бачым, што правільна. Наколькі круглы квадрат? Разлікі гэтак жа простыя, я нават не буду іх прыводзіць. Возьмем правільны шасцікутнік, упісаны ў акружнасць з радыусам. Перыметр, відавочна, роўны XNUMX.
польская
А звычайны шасцікантовік? Яго даўжыня акружнасці роўная 6, а плошча
Такім чынам, у нас ёсць
што прыкладна роўна 0,952. Шасцікутнік круглы больш за на 95%.
Цікавы вынік атрымліваецца пры разліку акругласці спартовага стадыёна. Згодна з правіламі ІААФ, прамыя і крывыя павінны мець даўжыню 40 метраў, хоць дапускаюцца адхіленні. Я памятаю, што стадыён Біслет у Осла быў вузкім і доўгім. Пішу "была", таму што нават бегала на ёй (на аматара!), але больш за XNUMX гадоў таму. Давайце паглядзім:
Калі дуга радыусам 100 метраў, радыус гэтай дугі складае метры. Плошча газона складае квадратныя метры, а плошча за яго межамі (там, дзе ёсць трампліны) у суме складае квадратныя метры. Падставім гэта ў формулу:
Дык ці мае акругласць спартыўнага стадыёна нейкае дачыненне да роўнабаковага трыкутніка? Таму што вышыня роўнабаковага трыкутніка ў столькі ж разоў большая за старану. Гэтае выпадковае супадзенне лікаў, але гэта прыемна. Мне гэта падабаецца. А чытачы?
Што ж, добра, што круглае, хоць некаторыя могуць запярэчыць, таму што вірус, які дзівіць усіх нас, круглы. Прынамсі, так малююць.
