Ураўненні, коды, шыфры, матэматыка і паэзія

Міхал Шурэк кажа пра сябе: «Нарадзіўся ў 1946 годзе. Я скончыў Варшаўскі ўніверсітэт у 1968 годзе і з тых часоў працую на факультэце матэматыкі, інфарматыкі і механікі. Навуковая спецыялізацыя: алгебраічная геаметрыя. Нядаўна я меў справу з вектарнымі расслаеннямі. Што такое вектарны пучок? Такім чынам, вектары трэба дужа звязаць ніткай, і ў нас ужо ёсць пучок. Мой сябар, фізік, Антоні Сым прымусіў мяне ўступіць у "Юны тэхнік" (ён прызнае, што павінен атрымліваць ганарары з маіх ганарараў). Я напісаў некалькі артыкулаў, а потым застаўся, і з 1978 году кожны месяц можна чытаць, што я думаю пра матэматыку. Я люблю горы і, нягледзячы на ​​лішнюю вагу, імкнуся хадзіць пешшу. Я лічу, што настаўнікі найважнейшае. Я б трымаў палітыкаў, незалежна ад іх варыянтаў, у строга ахоўным месцы, каб яны не маглі ўцячы. Карміў раз на дзень. Я падабаюся аднаму сабаку пароды бигль з Тулека.

Раўнаньне – гэта нешта накшталт шыфра для матэматыка. Рашэнне ўраўненняў, квінтэсенцыя матэматыкі, — гэта чытанне зашыфраванага тэксту. На гэта звярнулі ўвагу багасловы з XNUMX стагоддзі. Ян Павел II, які ведаў матэматыку, некалькі разоў пісаў і згадваў пра гэта ў сваіх пропаведзях - на жаль, факты сцерліся з маёй памяці.

У школьнай навуцы яна прадстаўлена Піфагор як аўтар тэарэмы аб некаторай залежнасці ў прастакутным трыкутніку. Дык гэта стала часткай нашай еўрацэнтрычнай філасофіі. І ўсё ж у Піфагора значна больш добрых якасцяў. Менавіта ён наклаў на сваіх вучняў абавязак "пазнаваць свет", ад "што за гэтым узгоркам?" да вывучэння зорак. Вось чаму еўрапейцы "адкрылі" старажытныя цывілізацыі, а не наадварот.

Некаторыя чытачы памятаюцьўзоры Vièteа таксама"; многія чытачы старэй памятаюць сам тэрмін са школы і прыкладна тое, што пытанне з'явілася ў квадратных раўнаннях. Гэтыя заканамернасці "ідэалагічна" як бы шыфраванне інфармацыі.

Нядзіўна: адзін Франсуа Віет (1540-1603) займаўся крыптаграфіяй пры двары Генрыха IV (першага французскага караля з дынастыі Бурбонаў, 1553-1610) і здолеў узламаць шыфр, які выкарыстоўваўся ангельцамі ў вайне з Францыяй. Так што ён адыграў тую ж ролю, што і польскія матэматыкі (на чале з Марыянам Рэеўскім), якія адкрылі перад Другой сусветнай вайной сакрэты нямецкай шыфравальнай машыны "Энігма".

Модная тэма

Дакладна. Тэма "коды і шыфры" ужо даўно стала моднай у выкладанні. Я ўжо пісаў аб гэтым некалькі разоў, а праз два месяцы будзе яшчэ адна серыя. На гэты раз пішу пад уражаннем ад фільма пра вайну 1920 года, дзе перамога шмат у чым была абумоўлена ўзломам кодэкса бальшавіцкіх войскаў камандай пад кіраўніцтвам тады яшчэ маладога. Вацлаў Серпінскі (1882-1969). Не, гэта яшчэ не Enigma, гэта проста знаёмства. Памятаю сцэну з фільма, дзе Юзэф Пілсудскі (гуляе Данііл Альбрыхскі) кажа начальніку аддзела шыфраў:

Расшыфраваныя паведамленні неслі важнае паведамленне: войскі Тухачэўскага падтрымкі не атрымаюць. Вы можаце атакаваць!

Я ведаў Вацлава Серпінскага (калі можна так сказаць: я быў маладым студэнтам, ён быў вядомым прафесарам), наведваў яго лекцыі і семінары. Ён рабіў уражанне высахлага вучонага, безуважлівага, занятага сваёй дысцыплінай і які не бачыць тагасветнага свету. Ён чытаў лекцыі канкрэтна, тварам да дошкі, не гледзячы на ​​аўдыторыю… але адчуваў сябе выдатным спецыялістам. Так ці інакш, у яго былі пэўныя матэматычныя здольнасці - напрыклад, для рашэння задач. Ёсць і іншыя — навукоўцы, якія адносна дрэнна разгадваюць галаваломкі, але глыбока разумеюць усю тэорыю і здольныя ініцыяваць цэлыя вобласці творчасці. Нам патрэбны абодва - хоць першы будзе прасоўвацца хутчэй.

Вацлаў Серпінскі ніколі не казаў пра свае дасягненні ў 1920 годзе. Да 1939 года гэта напэўна трэба было трымаць у сакрэце, а пасля 1945 года тыя, хто ваяваў з Савецкай Расіяй, не карысталіся сімпатыяй тагачаснай улады. Маё перакананне, што навукоўцы патрэбны, як войска, даказана: "на ўсялякі выпадак". Вось прэзідэнт Рузвельт тэлефануе Эйнштэйну:

Выбітны рускі матэматык Ігар Арнольд адкрыта і з сумам казаў, што вайна аказала вялікі ўплыў на развіццё матэматыкі і фізікі (радыёлакацыя і GPS таксама мелі ваеннае паходжанне). Я не ўдаюся ў маральны аспект ужывання атамнай бомбы: тут падаўжэнне вайны на год і згуба некалькіх мільёнаў уласных салдат - тамака пакуты нявінных мірных жыхароў.

***

Уцякаю ў знаёмыя раёны - да. Многія з нас гулялі з кодамі, можа ў скаўтынг, можа проста так. Простыя шыфры, заснаваныя на прынцыпе замены літар іншымі літарамі ці іншымі лікамі, стандартна ўзломваюцца - калі мы ўлоўліваем толькі некалькі падказак (напрыклад, мы адгадваем імя караля). Сёньня таксама дапамагае статыстычны аналіз. Горш, калі ўсё пераменліва. Але горш за ўсё, калі няма рэгулярнасці. Разгледзім код, апісаны ў "Прыгоды бравага салдата Швейка". Возьмем кнігу, напрыклад, "Сусветны патоп". Вось прапановы на першай і другой старонцы.

Мы хочам закадзіраваць слова "CAT". Адкрываем на старонцы 1 і суседняй другой. Мы выяўляем, што на старонцы 1 літара Да ўпершыню з'яўляецца на 59-м месцы. Знаходзім пяцьдзесят дзевятае слова на супрацьлеглым, другім баку. Гэтае слова "а". Цяпер літара А. Злева стаіць 16-е слова, а шаснаццатае справа - "спадар". Літара Т стаіць на 95-м месцы, калі я правільна палічыў, а дзевяноста пятае слова справа - "о". Такім чынам, КАТ = 1 УЛАДЫКА О.

"Неадгадвальны" шыфр, хоць і пакутліва павольны як для шыфравання, так і… для ўгадвання. Дапусцім, мы хочам перадаць літару M. Мы можам праверыць, ці кадуем мы яе словам «Wołodyjowski». А пасьля нас ужо рыхтуюць турэмную камэру. Мы можам разлічваць толькі на замену! Акрамя таго, контрразведка адзначае паведамленні таемных супрацоўнікаў аб тым, што ўжо некаторы час заказчыкі ахвотна купляюць першы том "Патопа".

Мой артыкул з'яўляецца фундушам у гэтую тэзу: нават самыя мудрагелістыя ідэі матэматыкаў могуць знайсці ўжыванне ў шырока якая разумеецца практыцы. Напрыклад, ці можна ўявіць сабе менш карыснае матэматычнае адкрыццё, чым прыкмета дзялімасці… на 47?

Калі ён нам спатрэбіцца ў жыцці? І калі гэта так, будзе лягчэй паспрабаваць падзяліць яго. Калі дзеліць, то добра, калі не, то… другасна добра (мы ведаем, што не дзеліць).

Як дзяліцца і навошта

Пасля гэтага ўвядзення, давайце пяройдзем да. Ці ведаеце вы, чытачы, якія-небудзь прыкметы дзялімасці? Вызначана. Чатныя лікі заканчваюцца на 2, 4, 6, 8 або нуль. Лік дзеліцца на тры, калі сума яго лічбаў дзеліцца на тры. Аналагічна і з прыкметай дзялімасці на дзевяць - сума лічбаў павінна дзяліцца на дзевяць.

Каму гэта патрэбна? Я б зманіў, калі б пераканаў Чытача, што ён падыходзіць для чагосьці апроч… школьных заданняў. Ну і яшчэ асаблівасць дзялімасці на 4 (а што гэта такое, Чытач? Можа быць, ты ёю скарыстаешся, калі захочаш пазнаць, на які год прыходзіцца наступная Алімпіяда…). А вось асаблівасць дзялімасці на 47? Гэта ўжо галаўны боль. Ці даведаемся мы калі-небудзь, ці дзеліцца нешта на 47? Калі так, то возьмем калькулятар і паглядзім.

Гэта. Вы маеце рацыю, Чытач. І ўсё ж чытайце далей. Калі ласка.

Доказ дзялімасці на 47: Лік 100+ дзеліцца на 47 тады і толькі тады, калі 47 дзеліцца на +8.

Матэматык задаволена ўсміхнецца: "Гы, прыгожая". Але матэматыка ёсць матэматыка. Доказы маюць значэнне, і мы зважаем на іх прыгажосць. Як даказаць нашу рысу? Гэта проста. Аднімем са 100 + лік 94 – 47 = 47 (2 -). Атрымліваем 100+-94+47=6+48=6(+8).

Мы аднялі лік, які дзеліцца на 47, таму, калі 6 (+ 8) дзеліцца на 47, то і 100 +. Але лік 6 узаемна просты з 47, а гэта азначае, што 6 (+ 8) дзеліцца на 47 тады і толькі тады, калі яно роўна + 8. Канец доказу.

давайце паглядзім некаторыя прыклады.

8805685 дзеліцца на 47? Калі мы сапраўды зацікаўлены ў гэтым, мы даведаемся раней, проста падзяліўшы нас, як нас вучылі ў пачатковай школе. Так ці інакш, зараз калькулятар ёсць у кожным мабільным тэлефоне. Падзелены? Так, дзель 187355.

Што ж, давайце паглядзім, што нам гаворыць прыкмета дзялімасці. Адлучаем дзве апошнія лічбы, памнажаем іх на 8, дадаем вынік да «усечанага ліку» і праробліваем тое ж самае з атрыманым лікам.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Мы бачым, што 94 дзеліцца на 47 (прыватнае роўна 2), значыць, і зыходны лік дзеліцца. Выдатна. Але што, калі мы працягнем весяліцца?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Цяпер мы павінны спыніцца. Сорак сем дзеліцца на 47, праўда?

Нам сапраўды трэба спыніцца? Што, калі мы пойдзем далей? Аб божа, усякае бывае... Я апушчу падрабязнасці. Можа толькі пачатак:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Але, на жаль, выклікае такое ж прывыканне, як жаванне семак…

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

А, сорак сем. Гэта ўжо было. Што далей? . Такі ж. Лічбы ідуць у цыкле наступным чынам:

Гэта насамрэч цікава. Такая колькасць завес.

Два наступныя прыклады.

Мы хочам даведацца, ці дзеліцца 10017627 на 47. Навошта нам патрэбны гэтыя веды? Мы памятаем прынцып: гора веданню, якое не дапамагае дасведчанаму. Веды заўсёды ёсць для чагосьці. Гэта будзе за нешта, але зараз я не буду тлумачыцца. Яшчэ некалькі рахункаў:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

«Ён змяніў дзядзьку з сякеры на палку». Што мы атрымліваем ад усяго гэтага?

Што ж, давайце паўторым ход разбору. Гэта значыць працягнем рабіць гэта (гэта значыць слова "ітэраваць").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Спынім гульню, падзелім, як у школе (ці на калькулятары): 235 = 5 · 47. Бінга. Зыходнае лік 10017627 дзеліцца на 47.

Брава нам!

Што, калі мы пойдзем далей? Паверце, вы можаце гэта праверыць.

І яшчэ адзін цікавы факт. Мы хочам праверыць, ці дзеліцца 799 на 47. Мы выкарыстоўваем функцыю дзялімасці. Адлучаем дзве апошнія лічбы, атрыманы лік памнажаем на 8 і дадаем да таго, што засталося:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Што мы маем? Лік 799 дзеліцца на 47 тады і толькі тады, калі 799 дзеліцца на 47? Так, усё дакладна, але ніякай матэматыкі для гэтага не трэба! Алей алеістай (прынамсі, гэта алей алеістай).

Пра ліст, піратаў і канец жартам!

Яшчэ дзве прытчы. Дзе лепш за ўсё схаваць ліст? Адказ відавочны: у лесе! Але як яго потым знайсці?

Другога мы ведаем з кніг пра піратаў, якія чыталі даўным-даўно. Піраты склалі карту месца, дзе яны закапалі скарб. Іншыя альбо скралі яго, альбо выйгралі ў баі. Але на карце не было паказана, для якой выспы ён прызначаны. І шукайце сябе! Зразумела, піраты з гэтым (катаваннем) справіліся - шыфры, пра якія я кажу, таксама можна атрымаць такімі метадамі.

Канец жартам. Чытач! Ствараем шыфр. Я таемны шпіён і выкарыстоўваю "Юнага тэхніка" ў якасці кантактнай скрыні. Перасылайце мне зашыфраваныя паведамлення наступным чынам.

Спачатку пераўтварыце тэкст у радок лікаў, выкарыстоўваючы код: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Як бачыце, мы не выкарыстоўваем польскія дыякрытычныя знакі (г.зн. без ą, ę, ć, ń, ó, ś) і няпольскія q, v — але няпольскі x застаўся на ўсялякі выпадак. Уключым яшчэ 25 як прабел (прабел паміж словамі). О, самае галоўнае. Калі ласка, прымяніце код № 47.

Вы ведаеце, што гэта азначае. Вы ідзяце да сябра матэматыку.

Вочы сябра пашырыліся ад здзіўлення.

Ты адказваеш ганарліва:

Матэматык надзяляе вас гэтай рысай… і вы ўжо ведаеце, што для шыфравання выкарыстоўваецца непрыкметная з выгляду функцыя

таму што такі шаблон з'яўляецца апісаным дзеяннем

100 + → + 8.

Такім чынам, калі вы хочаце даведацца, што азначае лік, напрыклад, 77777777 у зашыфраваным паведамленні, вы выкарыстоўваеце функцыю

100 + → + 8

пакуль не атрымаеце лік ад 1 да 25. Цяпер паглядзіце на відавочны літарна-лічбавай код. Паглядзім: 77777777 →… Пакідаю гэта Вам як заданне. Але давайце паглядзім, якую літару хавае 48? Давай чытаць:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Тады атрымаем па чарзе:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Канца не відаць. Толькі пасля шасцідзесятага (!) разу з'явіцца лік меншы за 25. Гэта 3, значыць, 48 — гэта літара С.

І што нам дае гэтае паведамленне? (Хачу нагадаць, што мы выкарыстоўваем кодавы нумар 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Ну, падумаеш, што тут складанага, нейкія рахункі. Мы пачалі. У пачатку 80. Вядомае правіла:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Гэта працягваецца так:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Ёсць! Першая літара паведамлення - К. Уф, лёгка, але колькі часу гэта зойме?

Паглядзім таксама, колькі клопатаў нам давядзецца мець з лікам 1234567. Толькі на шаснаццаты раз мы атрымаем лік меншы за 25, а менавіта 12. Значыць, 1234567 — гэта L.

Добра, скажа нехта, але гэтая арыфметычная аперацыя настолькі простая, што яе праграмаванне на кампутары адразу ж зламае код. Ды гэта праўда. Гэта простыя разлікі для кампутара. Ідэя з агульнадаступны шыфр і гаворка ідзе таксама аб тым, каб зрабіць разлікі складанымі для кампутара. Няхай працуе хоць сто гадоў. Ці расшыфруе ён паведамленне? Не важна. Гэта не будзе мець значэння доўгі час. Гэта (больш-менш) тое, што тычыцца агульнадаступных шыфраў. Іх можна зламаць, калі працаваць вельмі доўга… пакуль навіны не перастануць быць актуальнымі.

 яно заўсёды нараджала «супрацьзброю». Усё пачалося з мяча і шчыта. Сакрэтныя службы плацяць адораным матэматыкам велізарныя сумы за вынаходства метадаў шыфравання, якія кампутары (у тым ліку створаныя намі) не змогуць узламаць у XNUMX стагоддзі.

Дваццаць другое стагоддзе? Не так ужо і складана даведацца, што на свеце ўжо ёсць шмат людзей, якія будуць жыць у гэтым цудоўным стагоддзі!

О, ага? А што, калі я папрашу (мяне, Сакрэтнага Супрацоўніка, з якім звязаўся "Юны Тэхнік") для шыфравання з кодавым нумарам 23? Ці 17? Просты:

Няхай нам ніколі не давядзецца выкарыстоўваць матэматыку для такіх мэт.

***

Назва артыкула аб паэзіі. Якая ёй да гэтага справа?

Як што? Паэзія таксама шыфруе свет.

Як?

Сваімі метадамі - падобнымі на алгебраічныя.